関数 $y = x^2 + x$ のグラフに、点 $(2, -3)$ から引いた接線の方程式を求めます。与えられた解の一つは $y = -x - 1$ であり、もう一つの解を求める必要があります。

1. 問題の内容

関数 $y = x^2 + x$ のグラフに、点 $(2, -3)$ から引いた接線の方程式を求めます。与えられた解の一つは $y = -x - 1$ であり、もう一つの解を求める必要があります。

2. 解き方の手順

接点を $(t, t^2 + t)$ とします。

$y = x^2 + x$ を微分すると、

$\frac{dy}{dx} = 2x + 1$

したがって、接点 $(t, t^2 + t)$ における接線の傾きは $2t + 1$ となります。

接線の方程式は、

$y - (t^2 + t) = (2t + 1)(x - t)$

$y = (2t + 1)x - 2t^2 - t + t^2 + t$

$y = (2t + 1)x - t^2$

この接線は点 $(2, -3)$ を通るので、

$-3 = (2t + 1)(2) - t^2$

$-3 = 4t + 2 - t^2$

$t^2 - 4t - 5 = 0$

$(t - 5)(t + 1) = 0$

$t = 5$ または $t = -1$

$t = -1$ の場合、接点は $(-1, 0)$ となり、傾きは $2(-1) + 1 = -1$ なので、接線の方程式は $y = -x - 1$ となり、これは与えられた解です。

$t = 5$ の場合、接点は $(5, 30)$ となり、傾きは $2(5) + 1 = 11$ なので、接線の方程式は $y = 11x - 25$ となります。

$y - 30 = 11(x - 5)$

$y = 11x - 55 + 30$

$y = 11x - 25$

3. 最終的な答え

$y = 11x - 25$