与えられた式 $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}-\sqrt{3}} - \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}$ を計算して簡単にします。

1. 問題の内容

与えられた式 $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}-\sqrt{3}} - \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}$ を計算して簡単にします。

2. 解き方の手順

まず、それぞれの分数の分母を有理化します。

$\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}-\sqrt{3}}$ の分母を有理化するために、分母と分子に $\sqrt{5}+\sqrt{3}$ を掛けます。

$$\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}-\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{5}(\sqrt{5}+\sqrt{3})}{(\sqrt{5}-\sqrt{3})(\sqrt{5}+\sqrt{3})} = \frac{5+\sqrt{15}}{5-3} = \frac{5+\sqrt{15}}{2}$$

次に、$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}$ の分母を有理化するために、分母と分子に $\sqrt{5}-\sqrt{3}$ を掛けます。

$$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{5}+\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}(\sqrt{5}-\sqrt{3})}{(\sqrt{5}+\sqrt{3})(\sqrt{5}-\sqrt{3})} = \frac{\sqrt{15}-3}{5-3} = \frac{\sqrt{15}-3}{2}$$

したがって、

$$\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}-\sqrt{3}} - \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{5}+\sqrt{3}} = \frac{5+\sqrt{15}}{2} - \frac{\sqrt{15}-3}{2} = \frac{5+\sqrt{15}-\sqrt{15}+3}{2} = \frac{8}{2} = 4$$

3. 最終的な答え

4