関数 $y = 5x^2 - 2x - 1$ のグラフの接線のうち、直線 $y = 8x + 9$ に平行なものを求める問題です。

1. 問題の内容

関数 $y = 5x^2 - 2x - 1$ のグラフの接線のうち、直線 $y = 8x + 9$ に平行なものを求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた関数の導関数を求めます。

$y = 5x^2 - 2x - 1$

$y' = \frac{d}{dx}(5x^2 - 2x - 1) = 10x - 2$

次に、直線 $y = 8x + 9$ に平行な直線の傾きを考えます。平行な直線の傾きは等しいので、求める接線の傾きは8です。

導関数 $y'$ が接線の傾きを表すので、$y' = 8$ となる $x$ の値を求めます。

$10x - 2 = 8$

$10x = 10$

$x = 1$

$x=1$ のときの $y$ の値を求めます。

$y = 5(1)^2 - 2(1) - 1 = 5 - 2 - 1 = 2$

したがって、接点の座標は $(1, 2)$ です。

接線の式は、$y - y_1 = m(x - x_1)$ で表されます。ここで、$(x_1, y_1) = (1, 2)$ は接点の座標、$m = 8$ は接線の傾きです。

$y - 2 = 8(x - 1)$

$y - 2 = 8x - 8$

$y = 8x - 6$

3. 最終的な答え

$y = 8x - 6$