与えられた不定積分 $\int (-7x^4 - 5x^3 + 3x^2 - 7x + 1) dx$ を計算する。

1. 問題の内容

与えられた不定積分 $\int (-7x^4 - 5x^3 + 3x^2 - 7x + 1) dx$ を計算する。

2. 解き方の手順

各項を個別に積分します。不定積分の性質 $\int (f(x) + g(x)) dx = \int f(x) dx + \int g(x) dx$ と $\int c f(x) dx = c \int f(x) dx$ を用いて、各項の係数を積分の外に出し、$\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$ (ただし $n \neq -1$) を適用します。最後に積分定数 $C$ を加えます。

$\int (-7x^4 - 5x^3 + 3x^2 - 7x + 1) dx = -7\int x^4 dx - 5\int x^3 dx + 3\int x^2 dx - 7\int x dx + \int 1 dx$

$= -7 \cdot \frac{x^5}{5} - 5 \cdot \frac{x^4}{4} + 3 \cdot \frac{x^3}{3} - 7 \cdot \frac{x^2}{2} + x + C$

$= -\frac{7}{5}x^5 - \frac{5}{4}x^4 + x^3 - \frac{7}{2}x^2 + x + C$

3. 最終的な答え

$-\frac{7}{5}x^5 - \frac{5}{4}x^4 + x^3 - \frac{7}{2}x^2 + x + C$