定積分 $\int_{0}^{4} (6x^2 - 6x + 1) dx$ の値を求めます。

1. 問題の内容

定積分 $\int_{0}^{4} (6x^2 - 6x + 1) dx$ の値を求めます。

2. 解き方の手順

まず、不定積分を計算します。

$\int (6x^2 - 6x + 1) dx = 6 \int x^2 dx - 6 \int x dx + \int 1 dx$

$= 6 \cdot \frac{x^3}{3} - 6 \cdot \frac{x^2}{2} + x + C$

$= 2x^3 - 3x^2 + x + C$

次に、定積分を計算します。

$\int_{0}^{4} (6x^2 - 6x + 1) dx = [2x^3 - 3x^2 + x]_{0}^{4}$

$= (2 \cdot 4^3 - 3 \cdot 4^2 + 4) - (2 \cdot 0^3 - 3 \cdot 0^2 + 0)$

$= (2 \cdot 64 - 3 \cdot 16 + 4) - 0$

$= 128 - 48 + 4$

$= 84$

3. 最終的な答え

84