定積分 $\int_{0}^{4} (6x^2 - 6x + 1) dx$ の値を求めます。

解析学定積分積分多項式
2025/4/7

1. 問題の内容

定積分 04(6x26x+1)dx\int_{0}^{4} (6x^2 - 6x + 1) dx の値を求めます。

2. 解き方の手順

まず、不定積分を計算します。
(6x26x+1)dx=6x2dx6xdx+1dx\int (6x^2 - 6x + 1) dx = 6 \int x^2 dx - 6 \int x dx + \int 1 dx
=6x336x22+x+C= 6 \cdot \frac{x^3}{3} - 6 \cdot \frac{x^2}{2} + x + C
=2x33x2+x+C= 2x^3 - 3x^2 + x + C
次に、定積分を計算します。
04(6x26x+1)dx=[2x33x2+x]04\int_{0}^{4} (6x^2 - 6x + 1) dx = [2x^3 - 3x^2 + x]_{0}^{4}
=(243342+4)(203302+0)= (2 \cdot 4^3 - 3 \cdot 4^2 + 4) - (2 \cdot 0^3 - 3 \cdot 0^2 + 0)
=(264316+4)0= (2 \cdot 64 - 3 \cdot 16 + 4) - 0
=12848+4= 128 - 48 + 4
=84= 84

3. 最終的な答え

84

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