整式 $x^4 - 2x^3 + x - 2$ を整式 $P(x)$ で割ったところ、商が $x^2 + 1$ であり、余りが $3x - 1$ であった。このとき、$P(x)$ を求めよ。

1. 問題の内容

整式 $x^4 - 2x^3 + x - 2$ を整式 $P(x)$ で割ったところ、商が $x^2 + 1$ であり、余りが $3x - 1$ であった。このとき、$P(x)$ を求めよ。

2. 解き方の手順

割り算の基本関係式を用いる。

割られる式 = 割る式 × 商 + 余り

この問題の場合、以下の式が成り立つ。

$x^4 - 2x^3 + x - 2 = P(x)(x^2 + 1) + (3x - 1)$

$P(x)$ を求めるために、式を変形する。

$P(x)(x^2 + 1) = x^4 - 2x^3 + x - 2 - (3x - 1)$

$P(x)(x^2 + 1) = x^4 - 2x^3 - 2x - 1$

両辺を $x^2 + 1$ で割る。

$P(x) = \frac{x^4 - 2x^3 - 2x - 1}{x^2 + 1}$

実際に割り算を行う。

```

x^2 - 2x - 1

x^2 + 1 | x^4 - 2x^3 + 0x^2 - 2x - 1

x^4 + x^2

------------------

-2x^3 - x^2 - 2x

-2x^3 - 2x

------------------

- x^2 - 1

- x^2 - 1

------------------

0

```

割り算の結果、$P(x) = x^2 - 2x - 1$ となる。

3. 最終的な答え

$P(x) = x^2 - 2x - 1$