与えられた複素数の分数 $\frac{1}{2+i}$ を計算し、標準形 $a+bi$ で表す問題です。

1. 問題の内容

与えられた複素数の分数 $\frac{1}{2+i}$ を計算し、標準形 $a+bi$ で表す問題です。

2. 解き方の手順

複素数の分母に複素数がある場合、分母の共役複素数を分子と分母の両方にかけることで、分母を実数にすることができます。

分母 $2+i$ の共役複素数は $2-i$ です。

したがって、以下のように計算を行います。

$$$$

\frac{1}{2+i} = \frac{1}{2+i} \cdot \frac{2-i}{2-i}

$$$$

$$$$

= \frac{2-i}{(2+i)(2-i)}

$$$$

分母を展開します。 $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$ という公式を利用します。

$$$$

(2+i)(2-i) = 2^2 - i^2 = 4 - (-1) = 4 + 1 = 5

$$$$

したがって、

$$$$

\frac{2-i}{(2+i)(2-i)} = \frac{2-i}{5} = \frac{2}{5} - \frac{1}{5}i

$$$$

3. 最終的な答え

$\frac{2}{5} - \frac{1}{5}i$