長さが24cmの針金を折り曲げて長方形を作ったとき、対角線の長さが$4\sqrt{5}$cmになった。この長方形の長い方の辺の長さを求める。

1. 問題の内容

長さが24cmの針金を折り曲げて長方形を作ったとき、対角線の長さが$4\sqrt{5}$cmになった。この長方形の長い方の辺の長さを求める。

2. 解き方の手順

長方形の縦の長さを$x$ cm、横の長さを$y$ cmとすると、長方形の周の長さは$2(x+y)$cmである。針金の長さが24cmなので、

$2(x+y)=24$

$x+y=12$

長方形の対角線の長さは、$4\sqrt{5}$cmなので、ピタゴラスの定理より、

$x^2 + y^2 = (4\sqrt{5})^2$

$x^2 + y^2 = 16 \times 5$

$x^2 + y^2 = 80$

$x+y=12$より、$y=12-x$である。これを$x^2 + y^2 = 80$に代入する。

$x^2 + (12-x)^2 = 80$

$x^2 + (144 - 24x + x^2) = 80$

$2x^2 - 24x + 144 = 80$

$2x^2 - 24x + 64 = 0$

$x^2 - 12x + 32 = 0$

$(x-4)(x-8) = 0$

$x=4$または$x=8$

$x=4$のとき、$y=12-4=8$

$x=8$のとき、$y=12-8=4$

したがって、長方形の辺の長さは4cmと8cmである。長い方の辺の長さは8cmである。

3. 最終的な答え

8 cm