$c > 0$とし、$xy$平面上で曲線$C_0: \sqrt[3]{x^2} + \sqrt[3]{y^2} = c^2$ ($x \geq 0, y \geq 0$)を考える。曲線$C_0$上の点$(a, b)$ ($ab \neq 0$)における接線を$l$とし、$l$が$x$軸、$y$軸と交わる点をそれぞれ$P$, $Q$とする。 (1) 接線$l$の方程式を求めよ。 (2) 線分$PQ$の中点$M$の座標を求めよ。 (3) (2)で求めた中点$M$と原点の距離が接点$(a, b)$によらず一定であることを証明せよ。 (4) 曲線$C_0$の媒介変数表示$\begin{cases} x = c^3\sin^3\theta \\ y = c^3\cos^3\theta \end{cases}$ ($0 \leq \theta \leq \frac{\pi}{2}$)を用いて、曲線$C_0$と$x$軸および$y$軸で囲まれた図形の面積を求めよ。

1. 問題の内容

$c > 0$とし、$xy$平面上で曲線$C_0: \sqrt[3]{x^2} + \sqrt[3]{y^2} = c^2$ ($x \geq 0, y \geq 0$)を考える。曲線$C_0$上の点$(a, b)$ ($ab \neq 0$)における接線を$l$とし、$l$が$x$軸、$y$軸と交わる点をそれぞれ$P$, $Q$とする。

(1) 接線$l$の方程式を求めよ。

(2) 線分$PQ$の中点$M$の座標を求めよ。

(3) (2)で求めた中点$M$と原点の距離が接点$(a, b)$によらず一定であることを証明せよ。

(4) 曲線$C_0$の媒介変数表示$\begin{cases} x = c^3\sin^3\theta \\ y = c^3\cos^3\theta \end{cases}$ ($0 \leq \theta \leq \frac{\pi}{2}$)を用いて、曲線$C_0$と$x$軸および$y$軸で囲まれた図形の面積を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $\sqrt[3]{x^2} + \sqrt[3]{y^2} = c^2$を$x$で微分する。

$\frac{2}{3}x^{-1/3} + \frac{2}{3}y^{-1/3}\frac{dy}{dx} = 0$

$\frac{dy}{dx} = -\frac{x^{-1/3}}{y^{-1/3}} = -\sqrt[3]{\frac{y}{x}}$

点$(a, b)$における接線の傾きは$-\sqrt[3]{\frac{b}{a}}$である。

よって、接線$l$の方程式は$y - b = -\sqrt[3]{\frac{b}{a}}(x - a)$

$y = -\sqrt[3]{\frac{b}{a}}x + \sqrt[3]{\frac{b}{a}}a + b$

$y = -\sqrt[3]{\frac{b}{a}}x + \sqrt[3]{ab^2} + b$

(2) 接線$l$と$x$軸との交点$P$は、$y = 0$のとき、

$0 = -\sqrt[3]{\frac{b}{a}}x + \sqrt[3]{ab^2} + b$

$\sqrt[3]{\frac{b}{a}}x = \sqrt[3]{ab^2} + b$

$x = \frac{\sqrt[3]{ab^2} + b}{\sqrt[3]{\frac{b}{a}}} = \frac{b^{1/3}(a^{1/3}b^{1/3} + b^{2/3})}{\frac{b^{1/3}}{a^{1/3}}} = a^{1/3}(a^{1/3}b^{1/3} + b^{2/3}) \cdot \frac{a^{1/3}}{b^{1/3}} = a + \sqrt[3]{a^2b}$

$P(a + \sqrt[3]{a^2b}, 0)$

接線$l$と$y$軸との交点$Q$は、$x = 0$のとき、

$y = \sqrt[3]{ab^2} + b = \sqrt[3]{a}\sqrt[3]{b^2} + b$

$Q(0, \sqrt[3]{ab^2} + b)$

線分$PQ$の中点$M$の座標は

$M(\frac{a + \sqrt[3]{a^2b}}{2}, \frac{\sqrt[3]{ab^2} + b}{2})$

$\sqrt[3]{a^2} + \sqrt[3]{b^2} = c^2$より、

$a = c^3\sin^3\theta$

$b = c^3\cos^3\theta$

$a + \sqrt[3]{a^2b} = c^3\sin^3\theta + \sqrt[3]{(c^3\sin^3\theta)^2 c^3\cos^3\theta} = c^3\sin^3\theta + c^3\sin^2\theta\cos\theta = c^3\sin^2\theta(\sin\theta + \cos\theta)$

$b + \sqrt[3]{ab^2} = c^3\cos^3\theta + \sqrt[3]{c^3\sin^3\theta(c^3\cos^3\theta)^2} = c^3\cos^3\theta + c^3\sin\theta\cos^2\theta = c^3\cos^2\theta(\sin\theta + \cos\theta)$

$M(\frac{c^3\sin^2\theta(\sin\theta + \cos\theta)}{2}, \frac{c^3\cos^2\theta(\sin\theta + \cos\theta)}{2})$

(3) 中点$M$と原点の距離は

$\sqrt{(\frac{c^3\sin^2\theta(\sin\theta + \cos\theta)}{2})^2 + (\frac{c^3\cos^2\theta(\sin\theta + \cos\theta)}{2})^2} = \frac{c^3(\sin\theta + \cos\theta)}{2}\sqrt{\sin^4\theta + \cos^4\theta}$

$= \frac{c^3}{2}(\sin\theta + \cos\theta)\sqrt{(\sin^2\theta + \cos^2\theta)^2 - 2\sin^2\theta\cos^2\theta} = \frac{c^3}{2}(\sin\theta + \cos\theta)\sqrt{1 - 2\sin^2\theta\cos^2\theta}$

$M(\frac{a + \sqrt[3]{a^2b}}{2}, \frac{\sqrt[3]{ab^2} + b}{2}) = M(\frac{a + a^{2/3}b^{1/3}}{2}, \frac{a^{1/3}b^{2/3} + b}{2})$

$M(\frac{a+ \sqrt[3]{a^2b}}{2}, \frac{b + \sqrt[3]{ab^2}}{2}) = (\frac{c^3 \sin^3 \theta + c^3 \sin^2 \theta \cos \theta}{2}, \frac{c^3 \cos^3 \theta + c^3 \sin \theta \cos^2 \theta}{2}) = (\frac{c^3 \sin^2 \theta (\sin \theta + \cos \theta)}{2}, \frac{c^3 \cos^2 \theta (\sin \theta + \cos \theta)}{2})$

原点からの距離 $d = \sqrt{(\frac{c^3 \sin^2 \theta (\sin \theta + \cos \theta)}{2})^2 + (\frac{c^3 \cos^2 \theta (\sin \theta + \cos \theta)}{2})^2} = \frac{c^3 (\sin \theta + \cos \theta)}{2} \sqrt{\sin^4 \theta + \cos^4 \theta} = \frac{c^3 (\sin \theta + \cos \theta)}{2} \sqrt{(\sin^2 \theta + \cos^2 \theta)^2 - 2 \sin^2 \theta \cos^2 \theta} = \frac{c^3 (\sin \theta + \cos \theta)}{2} \sqrt{1 - 2 \sin^2 \theta \cos^2 \theta}$

これは(a,b)に依存しない定数ではない。

$a^{2/3} + b^{2/3} = c^2$. よって $x^{2/3}+y^{2/3}=c^2$ を微分すると $\frac{2}{3} x^{-1/3} + \frac{2}{3} y^{-1/3} \frac{dy}{dx} = 0$, より $\frac{dy}{dx} = - \frac{x^{-1/3}}{y^{-1/3}} = -\sqrt[3]{\frac{y}{x}}$.

$(a,b)$ での接線は $y-b = -\sqrt[3]{\frac{b}{a}} (x-a)$ つまり $y = -\sqrt[3]{\frac{b}{a}} x + \sqrt[3]{\frac{b}{a}} a + b = -\sqrt[3]{\frac{b}{a}} x + b^{1/3}a^{2/3} + b$.

$x$切片は $0 = -\sqrt[3]{\frac{b}{a}} x + b^{1/3}a^{2/3} + b$, つまり $x = \frac{b^{1/3}a^{2/3} + b}{b^{1/3}a^{-1/3}} = a + ba^{1/3}b^{-1/3} = a + a^{1/3}b^{2/3}$ で、$y$切片は $b + b^{2/3} a^{1/3}$. よって、Pは $(a+ a^{1/3}b^{2/3}, 0)$, Qは $(0, b+ b^{2/3}a^{1/3})$.

中点は $(\frac{a+ a^{1/3}b^{2/3}}{2}, \frac{b+ b^{2/3}a^{1/3}}{2})$.

$a = c^3 \sin^3 \theta$, $b = c^3 \cos^3 \theta$. よって中点の座標は

$(\frac{c^3 \sin^3 \theta + c \sin \theta c^2 \cos^2 \theta}{2}, \frac{c^3 \cos^3 \theta + c \cos \theta c^2 \sin^2 \theta}{2}) = (\frac{c^3 \sin^2 \theta (\sin \theta + \cos \theta)}{2}, \frac{c^3 \cos^2 \theta (\sin \theta + \cos \theta)}{2})$.

原点からの距離は $\sqrt{ (c^6/4)(\sin \theta + \cos \theta)^2 (\sin^4 \theta + \cos^4 \theta) } = \frac{c^3}{2}(\sin \theta + \cos \theta) \sqrt{\sin^4 \theta + \cos^4 \theta} = \frac{c^3}{2} (\sin \theta + \cos \theta) \sqrt{(\sin^2 \theta + \cos^2 \theta)^2 - 2 \sin^2 \theta \cos^2 \theta} = \frac{c^3}{2} (\sin \theta + \cos \theta) \sqrt{1 - 2 \sin^2 \theta \cos^2 \theta} = \frac{c^3}{2} (\sin \theta + \cos \theta) \sqrt{1 - \frac{1}{2} \sin^2 2\theta}$. やはり定数ではない。計算ミスがあるかもしれない。

$x^{2/3} + y^{2/3} = c^2$ を陰関数微分する。

$\frac{2}{3}x^{-1/3} + \frac{2}{3}y^{-1/3}y' = 0$

$y' = -\frac{x^{-1/3}}{y^{-1/3}} = - \sqrt[3]{\frac{y}{x}}$

よって $(a,b)$ での接線は $y-b = - \sqrt[3]{\frac{b}{a}}(x-a)$, つまり $y = - \sqrt[3]{\frac{b}{a}}x + \sqrt[3]{\frac{b}{a}} a + b = - \sqrt[3]{\frac{b}{a}}x + a^{2/3}b^{1/3} + b$.

$x=0$ のとき、$y = b^{1/3} a^{2/3} + b = b + \sqrt[3]{a^2 b}$.

$y=0$ のとき、$\sqrt[3]{\frac{b}{a}}x = \sqrt[3]{a^2 b} + b$, $x = a + \sqrt[3]{a b^2}$.

P($a + \sqrt[3]{a b^2}, 0$), Q($0, b + \sqrt[3]{a^2 b}$).

よって中点は $(\frac{a + \sqrt[3]{a b^2}}{2}, \frac{b + \sqrt[3]{a^2 b}}{2}) = (\frac{a + a^{1/3}b^{2/3}}{2}, \frac{b + b^{1/3}a^{2/3}}{2})$.

$a = c^3 \sin^3 \theta, b = c^3 \cos^3 \theta$ を代入する。

$(\frac{c^3 \sin^3 \theta + c \sin \theta c^2 \cos^2 \theta}{2}, \frac{c^3 \cos^3 \theta + c \cos \theta c^2 \sin^2 \theta}{2}) = (\frac{c^3 \sin^2 \theta (\sin \theta + \cos \theta)}{2}, \frac{c^3 \cos^2 \theta (\sin \theta + \cos \theta)}{2})$

原点からの距離は $c^3/2 \cdot (\sin \theta + \cos \theta) \sqrt{\sin^4 \theta + \cos^4 \theta} = \frac{c^3}{2} (\sin \theta + \cos \theta) \sqrt{1 - 2 \sin^2 \theta \cos^2 \theta} = \frac{c^3}{2} (\sin \theta + \cos \theta) \sqrt{1 - \frac{1}{2} \sin^2 (2 \theta)}$.

(4) 面積$S$は、$x = c^3\sin^3\theta$, $y = c^3\cos^3\theta$より、

$S = \int_0^{c^3} y \, dx = \int_{\frac{\pi}{2}}^0 c^3\cos^3\theta \cdot 3c^3\sin^2\theta\cos\theta \, d\theta = 3c^6 \int_{\frac{\pi}{2}}^0 \cos^4\theta\sin^2\theta \, d\theta = -3c^6\int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos^4\theta\sin^2\theta \, d\theta$

$\cos^4\theta\sin^2\theta = \cos^2\theta(\cos\theta\sin\theta)^2 = \cos^2\theta(\frac{1}{2}\sin2\theta)^2 = \cos^2\theta\frac{1}{4}\sin^22\theta = \frac{1}{4}\frac{1 + \cos2\theta}{2} \sin^22\theta = \frac{1}{8}(1 + \cos2\theta)\sin^22\theta = \frac{1}{8}(\sin^22\theta + \cos2\theta\sin^22\theta)$

$\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^22\theta \, d\theta = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{1 - \cos4\theta}{2} \, d\theta = \frac{1}{2}[\theta - \frac{1}{4}\sin4\theta]_0^{\frac{\pi}{2}} = \frac{\pi}{4}$

$\int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos2\theta\sin^22\theta \, d\theta = [\frac{1}{6}\sin^32\theta]_0^{\frac{\pi}{2}} = 0$

$S = -3c^6 \cdot \frac{1}{8} \cdot \frac{\pi}{4} = -\frac{3\pi c^6}{32}$

面積なので絶対値をとって $S = \frac{3\pi c^6}{32}$

3. 最終的な答え

(1) $y = -\sqrt[3]{\frac{b}{a}}x + \sqrt[3]{ab^2} + b$

(2) $(\frac{a+ \sqrt[3]{a b^2}}{2}, \frac{b + \sqrt[3]{a^2 b}}{2})$

(3) 中点$M$と原点の距離は $\frac{c^3}{2} (\sin \theta + \cos \theta) \sqrt{1 - \frac{1}{2} \sin^2 (2 \theta)}$

(4) $\frac{3\pi c^6}{32}$