$x + 2y + z = 0$ と $3x - 2y - 3z = 0$ のとき、$\frac{y+z}{x} + \frac{z+x}{y} + \frac{x+y}{z}$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

$x + 2y + z = 0$ と $3x - 2y - 3z = 0$ のとき、$\frac{y+z}{x} + \frac{z+x}{y} + \frac{x+y}{z}$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$x + 2y + z = 0$ を式(1)とし、$3x - 2y - 3z = 0$ を式(2)とします。

式(1)より、

$z = -x - 2y$ (3)

式(2)に式(3)を代入すると、

$3x - 2y - 3(-x - 2y) = 0$

$3x - 2y + 3x + 6y = 0$

$6x + 4y = 0$

$6x = -4y$

$x = -\frac{2}{3}y$ (4)

式(3)に式(4)を代入すると、

$z = - (-\frac{2}{3}y) - 2y$

$z = \frac{2}{3}y - 2y$

$z = \frac{2}{3}y - \frac{6}{3}y$

$z = -\frac{4}{3}y$ (5)

式(4)(5)を $\frac{y+z}{x} + \frac{z+x}{y} + \frac{x+y}{z}$に代入すると、

$\frac{y - \frac{4}{3}y}{-\frac{2}{3}y} + \frac{-\frac{4}{3}y - \frac{2}{3}y}{y} + \frac{-\frac{2}{3}y + y}{-\frac{4}{3}y}$

= $\frac{-\frac{1}{3}y}{-\frac{2}{3}y} + \frac{-\frac{6}{3}y}{y} + \frac{\frac{1}{3}y}{-\frac{4}{3}y}$

= $\frac{-\frac{1}{3}}{-\frac{2}{3}} + \frac{-\frac{6}{3}}{1} + \frac{\frac{1}{3}}{-\frac{4}{3}}$

= $\frac{1}{2} - 2 - \frac{1}{4}$

= $\frac{2}{4} - \frac{8}{4} - \frac{1}{4}$

= $\frac{2-8-1}{4}$

= $\frac{-7}{4}$

= $-\frac{7}{4}$

3. 最終的な答え

$-\frac{7}{4}$