(1) $\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$ を証明しなさい。 (2) $\theta$ が鋭角で、$\sin\theta = \frac{3}{4}$ のとき、$\cos\theta$ , $\tan\theta$ の値を求めなさい。 (3) $\cos\theta = \frac{2}{3}$ のとき、$\sin\theta$ , $\tan\theta$ の値を求めなさい。 (4) $\tan\theta = -\sqrt{3}-2$ のとき、$\sin\theta$ , $\cos\theta$ の値を求めなさい。

はい、承知いたしました。三角関数の問題を解いていきます。

1. 問題の内容

(1) $\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$ を証明しなさい。

(2) $\theta$ が鋭角で、$\sin\theta = \frac{3}{4}$ のとき、$\cos\theta$ , $\tan\theta$ の値を求めなさい。

(3) $\cos\theta = \frac{2}{3}$ のとき、$\sin\theta$ , $\tan\theta$ の値を求めなさい。

(4) $\tan\theta = -\sqrt{3}-2$ のとき、$\sin\theta$ , $\cos\theta$ の値を求めなさい。

2. 解き方の手順

(1) $\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$ の証明

単位円を考える。円上の点Pの座標を$(\cos\theta, \sin\theta)$とする。

原点からの距離は円の半径なので1である。三平方の定理より、

$\cos^2\theta + \sin^2\theta = 1^2$

$\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$

(2) $\sin\theta = \frac{3}{4}$ のとき、$\cos\theta$ , $\tan\theta$ を求める。

$\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$ より、

$\cos^2\theta = 1 - \sin^2\theta$

$\cos^2\theta = 1 - (\frac{3}{4})^2 = 1 - \frac{9}{16} = \frac{7}{16}$

$\theta$ は鋭角なので、$\cos\theta > 0$ である。

$\cos\theta = \sqrt{\frac{7}{16}} = \frac{\sqrt{7}}{4}$

$\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta} = \frac{\frac{3}{4}}{\frac{\sqrt{7}}{4}} = \frac{3}{\sqrt{7}} = \frac{3\sqrt{7}}{7}$

(3) $\cos\theta = \frac{2}{3}$ のとき、$\sin\theta$ , $\tan\theta$ を求める。

$\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$ より、

$\sin^2\theta = 1 - \cos^2\theta$

$\sin^2\theta = 1 - (\frac{2}{3})^2 = 1 - \frac{4}{9} = \frac{5}{9}$

$\theta$ は鋭角なので、$\sin\theta > 0$ である。

$\sin\theta = \sqrt{\frac{5}{9}} = \frac{\sqrt{5}}{3}$

$\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta} = \frac{\frac{\sqrt{5}}{3}}{\frac{2}{3}} = \frac{\sqrt{5}}{2}$

(4) $\tan\theta = -\sqrt{3}-2$ のとき、$\sin\theta$ , $\cos\theta$ を求める。

$\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta}$ である。

$\sin\theta = \tan\theta \cos\theta = (-\sqrt{3}-2)\cos\theta$

$\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$ に代入する。

$((-\sqrt{3}-2)\cos\theta)^2 + \cos^2\theta = 1$

$((\sqrt{3}+2)^2+1)\cos^2\theta = 1$

$(3 + 4\sqrt{3} + 4 + 1)\cos^2\theta = 1$

$(8 + 4\sqrt{3})\cos^2\theta = 1$

$\cos^2\theta = \frac{1}{8+4\sqrt{3}} = \frac{1}{4(2+\sqrt{3})} = \frac{2-\sqrt{3}}{4(4-3)} = \frac{2-\sqrt{3}}{4}$

$\cos\theta = \pm\sqrt{\frac{2-\sqrt{3}}{4}} = \pm\frac{\sqrt{2-\sqrt{3}}}{2}$

$\sin\theta = \tan\theta \cos\theta = (-\sqrt{3}-2)\cos\theta$

$\tan\theta$ は負の値であるので、$\sin\theta$ と $\cos\theta$ は異符号となる。

$\cos\theta = \frac{\sqrt{2-\sqrt{3}}}{2}$ のとき、

$\sin\theta = (-\sqrt{3}-2)\frac{\sqrt{2-\sqrt{3}}}{2}$

$\cos\theta = -\frac{\sqrt{2-\sqrt{3}}}{2}$ のとき、

$\sin\theta = (\sqrt{3}+2)\frac{\sqrt{2-\sqrt{3}}}{2}$

$\sqrt{2 - \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{2}$ であることを利用すると、

$\cos\theta = \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$ のとき、

$\sin\theta = (-\sqrt{3}-2)\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4} = -\frac{3\sqrt{2}-2\sqrt{3}-2\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4} = -\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4}$

$\cos\theta = -\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$ のとき、

$\sin\theta = (\sqrt{3}+2)\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4} = \frac{3\sqrt{2}+2\sqrt{3}-2\sqrt{2}-\sqrt{6}}{4} = \frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4}$

3. 最終的な答え

(1) $\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$ の証明は上記参照

(2) $\cos\theta = \frac{\sqrt{7}}{4}$ , $\tan\theta = \frac{3\sqrt{7}}{7}$

(3) $\sin\theta = \frac{\sqrt{5}}{3}$ , $\tan\theta = \frac{\sqrt{5}}{2}$

(4) ($\cos\theta = \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$, $\sin\theta = -\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$) または ($\cos\theta = -\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$, $\sin\theta = \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$)