関数 $F'(x) = 4x^3 + 6x^2 - 2x$ が与えられており、$F(1) = 5$という条件が与えられています。この条件を満たす関数 $F(x)$ を求めます。

1. 問題の内容

関数 $F'(x) = 4x^3 + 6x^2 - 2x$ が与えられており、$F(1) = 5$という条件が与えられています。この条件を満たす関数 $F(x)$ を求めます。

2. 解き方の手順

まず、$F'(x)$を積分して$F(x)$を求めます。次に、$F(1) = 5$という条件を用いて積分定数を決定します。

$F'(x) = 4x^3 + 6x^2 - 2x$

$F(x) = \int (4x^3 + 6x^2 - 2x) dx$

$F(x) = \int 4x^3 dx + \int 6x^2 dx - \int 2x dx$

$F(x) = 4 \int x^3 dx + 6 \int x^2 dx - 2 \int x dx$

$F(x) = 4 \cdot \frac{x^4}{4} + 6 \cdot \frac{x^3}{3} - 2 \cdot \frac{x^2}{2} + C$

$F(x) = x^4 + 2x^3 - x^2 + C$

ここで、$C$は積分定数です。

次に、$F(1) = 5$という条件を用いて$C$を決定します。

$F(1) = (1)^4 + 2(1)^3 - (1)^2 + C = 5$

$1 + 2 - 1 + C = 5$

$2 + C = 5$

$C = 5 - 2$

$C = 3$

したがって、$F(x) = x^4 + 2x^3 - x^2 + 3$

3. 最終的な答え

$F(x) = x^4 + 2x^3 - x^2 + 3$