不定積分 $f(x) = \int (x-2)^2 dx$ を求めよ。ただし、積分定数を $C$ とする。

1. 問題の内容

不定積分 $f(x) = \int (x-2)^2 dx$ を求めよ。ただし、積分定数を $C$ とする。

2. 解き方の手順

まず、積分する関数を展開します。

$(x-2)^2 = x^2 - 4x + 4$

次に、この式を積分します。

$\int (x^2 - 4x + 4) dx = \int x^2 dx - \int 4x dx + \int 4 dx$

それぞれの項を積分します。

$\int x^2 dx = \frac{1}{3}x^3 + C_1$

$\int 4x dx = 4 \int x dx = 4 \cdot \frac{1}{2}x^2 + C_2 = 2x^2 + C_2$

$\int 4 dx = 4x + C_3$

したがって、

$\int (x^2 - 4x + 4) dx = \frac{1}{3}x^3 - 2x^2 + 4x + C$

ここで、$C = C_1 - C_2 + C_3$ は積分定数です。

3. 最終的な答え

$\frac{1}{3}x^3 - 2x^2 + 4x + C$