導関数 $F'(x) = 9x^2 - 4x + 5$ と $F(1) = 9$ という条件が与えられたとき、関数 $F(x)$ を求める問題です。

1. 問題の内容

導関数 $F'(x) = 9x^2 - 4x + 5$ と $F(1) = 9$ という条件が与えられたとき、関数 $F(x)$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた導関数 $F'(x)$ を積分して、一般的な関数 $F(x)$ を求めます。

$F(x) = \int F'(x) dx = \int (9x^2 - 4x + 5) dx$

それぞれの項を積分します。

$\int 9x^2 dx = 9 \int x^2 dx = 9 \cdot \frac{x^3}{3} = 3x^3$

$\int -4x dx = -4 \int x dx = -4 \cdot \frac{x^2}{2} = -2x^2$

$\int 5 dx = 5x$

したがって、

$F(x) = 3x^3 - 2x^2 + 5x + C$ （ここでCは積分定数です。）

次に、与えられた条件 $F(1) = 9$ を用いて積分定数 $C$ を決定します。

$F(1) = 3(1)^3 - 2(1)^2 + 5(1) + C = 3 - 2 + 5 + C = 6 + C$

$F(1) = 9$ であるから、$6 + C = 9$ となります。

$C = 9 - 6 = 3$

したがって、$F(x) = 3x^3 - 2x^2 + 5x + 3$

3. 最終的な答え

$F(x) = 3x^3 - 2x^2 + 5x + 3$