不定積分 $\int (x^2 + 2x^2 + x) dx$ を求めよ。ただし、積分定数を $C$ とする。

1. 問題の内容

不定積分 $\int (x^2 + 2x^2 + x) dx$ を求めよ。ただし、積分定数を $C$ とする。

2. 解き方の手順

まず、被積分関数を整理する。

$x^2 + 2x^2 + x = 3x^2 + x$

したがって、求める不定積分は

$\int (3x^2 + x) dx$

積分を計算する。

$\int (3x^2 + x) dx = \int 3x^2 dx + \int x dx$

$\int 3x^2 dx = 3 \int x^2 dx = 3 \cdot \frac{x^{2+1}}{2+1} + C_1 = 3 \cdot \frac{x^3}{3} + C_1 = x^3 + C_1$

$\int x dx = \frac{x^{1+1}}{1+1} + C_2 = \frac{x^2}{2} + C_2$

したがって、

$\int (3x^2 + x) dx = x^3 + \frac{x^2}{2} + C$

ここで、$C = C_1 + C_2$ は積分定数である。

3. 最終的な答え

$x^3 + \frac{x^2}{2} + C$