不定積分 $f(x) = \int (x^3 + 2x^2 + x) dx$ を求める問題です。積分定数は $C$ とします。

1. 問題の内容

不定積分 $f(x) = \int (x^3 + 2x^2 + x) dx$ を求める問題です。積分定数は $C$ とします。

2. 解き方の手順

不定積分を計算するために、項別に積分を行います。

それぞれの項に対して、$\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$の公式を利用します。

$\int x^3 dx = \frac{x^{3+1}}{3+1} + C_1 = \frac{x^4}{4} + C_1$

$\int 2x^2 dx = 2 \int x^2 dx = 2 \cdot \frac{x^{2+1}}{2+1} + C_2 = \frac{2x^3}{3} + C_2$

$\int x dx = \frac{x^{1+1}}{1+1} + C_3 = \frac{x^2}{2} + C_3$

したがって、

$f(x) = \int (x^3 + 2x^2 + x) dx = \int x^3 dx + \int 2x^2 dx + \int x dx = \frac{x^4}{4} + \frac{2x^3}{3} + \frac{x^2}{2} + C$

ここで、$C = C_1 + C_2 + C_3$ です。

3. 最終的な答え

$f(x) = \frac{x^4}{4} + \frac{2x^3}{3} + \frac{x^2}{2} + C$