与えられた定積分の計算を行います。 $\int_{1}^{4} (3x^2 + 9) dx - \int_{1}^{4} (2x + 6) dx$

1. 問題の内容

与えられた定積分の計算を行います。

$\int_{1}^{4} (3x^2 + 9) dx - \int_{1}^{4} (2x + 6) dx$

2. 解き方の手順

まず、積分区間が同じなので、積分の中身をまとめて計算します。

$\int_{1}^{4} (3x^2 + 9) dx - \int_{1}^{4} (2x + 6) dx = \int_{1}^{4} (3x^2 + 9 - 2x - 6) dx = \int_{1}^{4} (3x^2 - 2x + 3) dx$

次に、積分を行います。

$\int (3x^2 - 2x + 3) dx = x^3 - x^2 + 3x + C$

最後に、定積分を計算します。

$\int_{1}^{4} (3x^2 - 2x + 3) dx = [x^3 - x^2 + 3x]_{1}^{4} = (4^3 - 4^2 + 3 \cdot 4) - (1^3 - 1^2 + 3 \cdot 1) = (64 - 16 + 12) - (1 - 1 + 3) = 60 - 3 = 57$

3. 最終的な答え

57