定積分 $3 \int_{-3}^{1} (2x^2 + 3x - 3) \, dx + \int_{-1}^{1} (-6x^2 + 4x - 5) \, dx$ を計算せよ。

1. 問題の内容

定積分 $3 \int_{-3}^{1} (2x^2 + 3x - 3) \, dx + \int_{-1}^{1} (-6x^2 + 4x - 5) \, dx$ を計算せよ。

2. 解き方の手順

まず、それぞれの定積分を計算します。

一つ目の定積分：

$\int_{-3}^{1} (2x^2 + 3x - 3) \, dx = \left[\frac{2}{3}x^3 + \frac{3}{2}x^2 - 3x\right]_{-3}^{1}$

$= \left(\frac{2}{3}(1)^3 + \frac{3}{2}(1)^2 - 3(1)\right) - \left(\frac{2}{3}(-3)^3 + \frac{3}{2}(-3)^2 - 3(-3)\right)$

$= \left(\frac{2}{3} + \frac{3}{2} - 3\right) - \left(\frac{2}{3}(-27) + \frac{3}{2}(9) + 9\right)$

$= \left(\frac{4 + 9 - 18}{6}\right) - \left(-18 + \frac{27}{2} + 9\right)$

$= \left(-\frac{5}{6}\right) - \left(-9 + \frac{27}{2}\right)$

$= -\frac{5}{6} - \left(\frac{-18 + 27}{2}\right)$

$= -\frac{5}{6} - \frac{9}{2} = -\frac{5}{6} - \frac{27}{6} = -\frac{32}{6} = -\frac{16}{3}$

したがって、

$3 \int_{-3}^{1} (2x^2 + 3x - 3) \, dx = 3 \left(-\frac{16}{3}\right) = -16$

二つ目の定積分：

$\int_{-1}^{1} (-6x^2 + 4x - 5) \, dx = \left[-2x^3 + 2x^2 - 5x\right]_{-1}^{1}$

$= \left(-2(1)^3 + 2(1)^2 - 5(1)\right) - \left(-2(-1)^3 + 2(-1)^2 - 5(-1)\right)$

$= (-2 + 2 - 5) - (2 + 2 + 5)$

$= -5 - 9 = -14$

よって、

$3 \int_{-3}^{1} (2x^2 + 3x - 3) \, dx + \int_{-1}^{1} (-6x^2 + 4x - 5) \, dx = -16 - 14 = -30$

3. 最終的な答え

-30