定積分 $\int_{-3}^{2} \{2(x+1)^2 - 4x + 2\} dx$ を計算します。

1. 問題の内容

定積分 $\int_{-3}^{2} \{2(x+1)^2 - 4x + 2\} dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

まず、被積分関数を整理します。

\begin{align*}

2(x+1)^2 - 4x + 2 &= 2(x^2 + 2x + 1) - 4x + 2 \\

&= 2x^2 + 4x + 2 - 4x + 2 \\

&= 2x^2 + 4

\end{align*}

したがって、求める定積分は

$$\int_{-3}^{2} (2x^2 + 4) dx$$

となります。

次に、不定積分を計算します。

\begin{align*}

\int (2x^2 + 4) dx &= 2 \int x^2 dx + 4 \int dx \\

&= 2 \cdot \frac{x^3}{3} + 4x + C \\

&= \frac{2}{3}x^3 + 4x + C

\end{align*}

最後に、定積分を計算します。

\begin{align*}

\int_{-3}^{2} (2x^2 + 4) dx &= \left[ \frac{2}{3}x^3 + 4x \right]_{-3}^{2} \\

&= \left( \frac{2}{3}(2)^3 + 4(2) \right) - \left( \frac{2}{3}(-3)^3 + 4(-3) \right) \\

&= \left( \frac{16}{3} + 8 \right) - \left( \frac{2}{3}(-27) - 12 \right) \\

&= \frac{16}{3} + 8 - (-18 - 12) \\

&= \frac{16}{3} + 8 + 30 \\

&= \frac{16}{3} + 38 \\

&= \frac{16 + 114}{3} \\

&= \frac{130}{3}

\end{align*}

3. 最終的な答え

$\frac{130}{3}$