定積分 $\int_{-2}^{1} (2x^3 + 6x^2 + 2x - 1) dx$ を計算する問題です。

1. 問題の内容

定積分 $\int_{-2}^{1} (2x^3 + 6x^2 + 2x - 1) dx$ を計算する問題です。

2. 解き方の手順

まず、積分する関数 $f(x) = 2x^3 + 6x^2 + 2x - 1$ の不定積分 $F(x)$ を求めます。

それぞれの項を積分します。

$\int 2x^3 dx = \frac{2}{4}x^4 = \frac{1}{2}x^4$

$\int 6x^2 dx = \frac{6}{3}x^3 = 2x^3$

$\int 2x dx = x^2$

$\int -1 dx = -x$

したがって、$F(x) = \frac{1}{2}x^4 + 2x^3 + x^2 - x + C$ となります（Cは積分定数）。

次に、定積分の値を求めます。

定積分の定義より、$\int_{-2}^{1} (2x^3 + 6x^2 + 2x - 1) dx = F(1) - F(-2)$ を計算します。

$F(1) = \frac{1}{2}(1)^4 + 2(1)^3 + (1)^2 - (1) = \frac{1}{2} + 2 + 1 - 1 = \frac{5}{2}$

$F(-2) = \frac{1}{2}(-2)^4 + 2(-2)^3 + (-2)^2 - (-2) = \frac{1}{2}(16) + 2(-8) + 4 + 2 = 8 - 16 + 4 + 2 = -2$

したがって、$\int_{-2}^{1} (2x^3 + 6x^2 + 2x - 1) dx = F(1) - F(-2) = \frac{5}{2} - (-2) = \frac{5}{2} + 2 = \frac{5}{2} + \frac{4}{2} = \frac{9}{2}$

3. 最終的な答え

$\frac{9}{2}$