与えられた定積分の計算をします。具体的には、$2\int_{1}^{2} (-3x^2 + 6x + 5) \, dx - \int_{2}^{3} (x^2 + 3x - 5) \, dx$ を計算します。

1. 問題の内容

与えられた定積分の計算をします。具体的には、$2\int_{1}^{2} (-3x^2 + 6x + 5) \, dx - \int_{2}^{3} (x^2 + 3x - 5) \, dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

まず、それぞれの定積分を計算します。

定積分1:

$\int_{1}^{2} (-3x^2 + 6x + 5) \, dx = [-x^3 + 3x^2 + 5x]_{1}^{2}$

$= (-(2)^3 + 3(2)^2 + 5(2)) - (-(1)^3 + 3(1)^2 + 5(1))$

$= (-8 + 12 + 10) - (-1 + 3 + 5)$

$= 14 - 7 = 7$

従って、$2\int_{1}^{2} (-3x^2 + 6x + 5) \, dx = 2 \times 7 = 14$

定積分2:

$\int_{2}^{3} (x^2 + 3x - 5) \, dx = [\frac{1}{3}x^3 + \frac{3}{2}x^2 - 5x]_{2}^{3}$

$= (\frac{1}{3}(3)^3 + \frac{3}{2}(3)^2 - 5(3)) - (\frac{1}{3}(2)^3 + \frac{3}{2}(2)^2 - 5(2))$

$= (9 + \frac{27}{2} - 15) - (\frac{8}{3} + 6 - 10)$

$= (-6 + \frac{27}{2}) - (\frac{8}{3} - 4)$

$= -6 + \frac{27}{2} - \frac{8}{3} + 4$

$= -2 + \frac{81 - 16}{6}$

$= -2 + \frac{65}{6} = \frac{-12 + 65}{6} = \frac{53}{6}$

よって、$2\int_{1}^{2} (-3x^2 + 6x + 5) \, dx - \int_{2}^{3} (x^2 + 3x - 5) \, dx = 14 - \frac{53}{6}$

$= \frac{84 - 53}{6} = \frac{31}{6}$

3. 最終的な答え

$\frac{31}{6}$