定積分 $\int_{-1}^{2} (-x^2 + 2x - 4) dx$ を計算します。

1. 問題の内容

定積分 $\int_{-1}^{2} (-x^2 + 2x - 4) dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

まず、被積分関数 $-x^2 + 2x - 4$ の不定積分を求めます。

$\int (-x^2 + 2x - 4) dx = -\frac{1}{3}x^3 + x^2 - 4x + C$

次に、定積分の定義に従い、不定積分の積分区間の端点での値を計算し、その差を求めます。

$\left[-\frac{1}{3}x^3 + x^2 - 4x\right]_{-1}^{2} = \left(-\frac{1}{3}(2)^3 + (2)^2 - 4(2)\right) - \left(-\frac{1}{3}(-1)^3 + (-1)^2 - 4(-1)\right)$

$= \left(-\frac{8}{3} + 4 - 8\right) - \left(\frac{1}{3} + 1 + 4\right)$

$= \left(-\frac{8}{3} - 4\right) - \left(\frac{1}{3} + 5\right)$

$= -\frac{8}{3} - 4 - \frac{1}{3} - 5$

$= -\frac{9}{3} - 9$

$= -3 - 9$

$= -12$

3. 最終的な答え

-12