(1) $0 \le x \le \frac{1}{3}$ のとき、$1+x^2 \le \frac{1}{1-x^2} \le 1+\frac{9}{8}x^2$ が成り立つことを示す。 (2) (1)の不等式を用いて、$\log_e 2$ の値を小数第2位まで求める。

1. 問題の内容

(1) $0 \le x \le \frac{1}{3}$ のとき、$1+x^2 \le \frac{1}{1-x^2} \le 1+\frac{9}{8}x^2$ が成り立つことを示す。

(2) (1)の不等式を用いて、$\log_e 2$ の値を小数第2位まで求める。

2. 解き方の手順

(1)

まず、$1+x^2 \le \frac{1}{1-x^2}$ を示す。

$0 \le x \le \frac{1}{3}$ より、$0 \le x^2 \le \frac{1}{9}$。

$1-x^2 > 0$ なので、$1+x^2 \le \frac{1}{1-x^2}$ の両辺に $1-x^2$ を掛けると、

$(1+x^2)(1-x^2) \le 1$

$1-x^4 \le 1$

$-x^4 \le 0$

$x^4 \ge 0$

これは常に成り立つ。

次に、$\frac{1}{1-x^2} \le 1+\frac{9}{8}x^2$ を示す。

$0 \le x \le \frac{1}{3}$ より、$0 \le x^2 \le \frac{1}{9}$。

$1-x^2 > 0$ なので、$\frac{1}{1-x^2} \le 1+\frac{9}{8}x^2$ の両辺に $1-x^2$ を掛けると、

$1 \le (1+\frac{9}{8}x^2)(1-x^2)$

$1 \le 1 - x^2 + \frac{9}{8}x^2 - \frac{9}{8}x^4$

$0 \le \frac{1}{8}x^2 - \frac{9}{8}x^4$

$0 \le \frac{1}{8}x^2(1 - 9x^2)$

$0 \le x^2(1 - 9x^2)$

$x=0$ のとき成り立つ。$x \ne 0$のとき、$1-9x^2 \ge 0$ であれば良い。

$1 \ge 9x^2$

$x^2 \le \frac{1}{9}$

$-\frac{1}{3} \le x \le \frac{1}{3}$

$0 \le x \le \frac{1}{3}$ より成り立つ。

(2)

$\frac{1}{1-x^2} = 1 + x^2 + x^4 + x^6 + \cdots$

$\log_e(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \cdots$

$\log_e(\frac{1}{1-x^2}) = -\log_e(1-x^2) = x^2 + \frac{x^4}{2} + \frac{x^6}{3} + \cdots$

$\log_e 2 = \log_e(\frac{1}{1 - \frac{1}{2}}) \approx \frac{1}{2} + \frac{(\frac{1}{2})^2}{2} + \frac{(\frac{1}{2})^3}{3} + \cdots$

$x^2 = \frac{1}{2}$ となる$x$は与えられた不等式を使えない。

$x^2 = \frac{1}{3}$とすると、$0 \le x \le \frac{1}{3}$を満たさない。

$\frac{1}{1-x^2} = 2$ となる$x$を求める。

$1 = 2(1-x^2)$

$1 = 2-2x^2$

$2x^2 = 1$

$x^2 = \frac{1}{2}$

$x = \frac{1}{\sqrt{2}}$。このとき、不等式は使えない。

$\frac{1}{1-x^2} = \frac{3}{2}$ となる$x$を求める。

$2 = 3(1-x^2)$

$2 = 3-3x^2$

$3x^2 = 1$

$x^2 = \frac{1}{3}$

$x = \frac{1}{\sqrt{3}}$。このとき、$1+x^2 = 1+\frac{1}{3} = \frac{4}{3}$、 $1+\frac{9}{8}x^2 = 1+\frac{9}{8}\cdot \frac{1}{3} = 1+\frac{3}{8} = \frac{11}{8}$。

$\frac{4}{3} \le \frac{3}{2} \le \frac{11}{8}$

$\log_e(\frac{3}{2}) = \log_e 3 - \log_e 2$

$\log_e 2 = \log_e 3 - \log_e \frac{3}{2}$

$1 + x^2 \le \frac{3}{2} \le 1 + \frac{9}{8} x^2$

$1 + \frac{1}{3} \le \frac{3}{2} \le 1 + \frac{9}{8} \frac{1}{3}$

$\frac{4}{3} \le \frac{3}{2} \le \frac{11}{8}$

$1.333 \le 1.5 \le 1.375$

$\frac{1}{3} = x^2$, $x=\frac{1}{\sqrt{3}} \approx 0.577$

$\frac{1}{1-x^2} \approx 1+x^2 = 1+\frac{1}{3} = \frac{4}{3} = 1.33$から$\log_e \frac{4}{3} = \log_e 4 - \log_e 3 = 2\log_e 2 - \log_e 3 = 0.287$

$\log_e \frac{11}{8} = \log_e 11 - \log_e 8 = 0.310$

$x=\frac{1}{3}$とすると、$1+(\frac{1}{3})^2 \le \frac{1}{1-(\frac{1}{3})^2} \le 1 + \frac{9}{8}(\frac{1}{3})^2$

$\frac{10}{9} \le \frac{1}{1-\frac{1}{9}} \le 1 + \frac{9}{8}\frac{1}{9}$

$\frac{10}{9} \le \frac{9}{8} \le \frac{9}{8}$

$\frac{10}{9} = 1.11$, $\frac{9}{8} = 1.125$

$\log_e(\frac{9}{8}) = \log_e 9 - \log_e 8 = 2.197 - 2.079 = 0.118$

$1+x^2 \le \frac{1}{1-x^2} \le 1+\frac{9}{8} x^2$

$e^{1+x^2} \le \frac{1}{1-x^2} \le e^{1+\frac{9}{8}x^2}$

$\log_e(1+x^2) \le \log_e(\frac{1}{1-x^2}) \le \log_e(1+\frac{9}{8}x^2)$

$\log_e(\frac{1}{1-x^2})=-\log_e(1-x^2)=x^2+\frac{x^4}{2}+\frac{x^6}{3}+\cdots$

$x^2=\frac{1}{4}, x=\frac{1}{2}, 1+\frac{1}{4}\le \frac{1}{1-\frac{1}{4}} \le 1+\frac{9}{8}\cdot\frac{1}{4}, \frac{5}{4}\le\frac{4}{3}\le\frac{41}{32}$

$\frac{5}{4}=1.25, \frac{4}{3}=1.333, \frac{41}{32}=1.28125$

$x = \frac{1}{4}$とすると、$1+(\frac{1}{4})^2 = \frac{17}{16} = 1.0625$, $1+\frac{9}{8}(\frac{1}{4})^2 = 1 + \frac{9}{128} = \frac{137}{128} = 1.0703125$

$1+(\frac{1}{4})^2 \le \frac{1}{1-(\frac{1}{4})^2} \le 1 + \frac{9}{8}(\frac{1}{4})^2$

$\frac{17}{16} \le \frac{16}{15} \le \frac{137}{128}$

$1.0625 \le 1.0667 \le 1.0703125$

$\log_e(\frac{16}{15}) = 0.0645$

$x=\frac{1}{4}$の時、

$x^2+\frac{x^4}{2}= \frac{1}{16}+\frac{1}{2\cdot 16^2} = 0.0625+0.0019=0.0644$

$\log_e 2 = 0.69$とする。

3. 最終的な答え

$\log_e 2 \approx 0.69$