与えられた関数 $y = f(x) = \cos^5(x^2 + 1)$ の導関数 $\frac{dy}{dx}$ を求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた関数 $y = f(x) = \cos^5(x^2 + 1)$ の導関数 $\frac{dy}{dx}$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

この問題を解くには、合成関数の微分（連鎖律）を使います。

まず、関数を次のように分解します。

$u = x^2 + 1$

$v = \cos(u)$

$y = v^5$

それぞれの微分を計算します。

$\frac{du}{dx} = 2x$

$\frac{dv}{du} = -\sin(u)$

$\frac{dy}{dv} = 5v^4$

連鎖律より、

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{dv} \cdot \frac{dv}{du} \cdot \frac{du}{dx}$

各微分を代入すると、

$\frac{dy}{dx} = 5v^4 \cdot (-\sin(u)) \cdot 2x$

$\frac{dy}{dx} = -10x v^4 \sin(u)$

$u$ と $v$ を元の関数に戻すと、

$\frac{dy}{dx} = -10x (\cos(x^2 + 1))^4 \sin(x^2 + 1)$

3. 最終的な答え

$\frac{dy}{dx} = -10x \cos^4(x^2 + 1) \sin(x^2 + 1)$