定積分 $\int_{-1}^{2} (-x^3 + 2x - 4) dx$ を計算します。

1. 問題の内容

定積分 $\int_{-1}^{2} (-x^3 + 2x - 4) dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

まず、不定積分を計算します。

$\int (-x^3 + 2x - 4) dx = -\frac{x^4}{4} + x^2 - 4x + C$

次に、定積分を計算するために、積分の上限と下限を代入して差を求めます。

$\int_{-1}^{2} (-x^3 + 2x - 4) dx = \left[-\frac{x^4}{4} + x^2 - 4x\right]_{-1}^{2}$

$=\left(-\frac{2^4}{4} + 2^2 - 4(2)\right) - \left(-\frac{(-1)^4}{4} + (-1)^2 - 4(-1)\right)$

$=\left(-\frac{16}{4} + 4 - 8\right) - \left(-\frac{1}{4} + 1 + 4\right)$

$=( -4 + 4 - 8) - ( -\frac{1}{4} + 5)$

$= -8 - ( -\frac{1}{4} + \frac{20}{4})$

$= -8 - \frac{19}{4}$

$= -\frac{32}{4} - \frac{19}{4}$

$= -\frac{51}{4}$

3. 最終的な答え

$-\frac{51}{4}$