次の関数を微分し、空欄を埋めよ。 (1) $y = \frac{x}{\sqrt{x^2 + x + 1}}$ の導関数 $y'$ を求める。 (2) $y = \frac{1}{3} \sin^2 \sqrt{2x}$ の導関数 $y'$ を求める。

1. 問題の内容

次の関数を微分し、空欄を埋めよ。

(1) $y = \frac{x}{\sqrt{x^2 + x + 1}}$ の導関数 $y'$ を求める。

(2) $y = \frac{1}{3} \sin^2 \sqrt{2x}$ の導関数 $y'$ を求める。

2. 解き方の手順

(1)

$y = \frac{x}{\sqrt{x^2 + x + 1}}$ を微分する。商の微分公式 $\left( \frac{u}{v} \right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$ を用いる。

$u = x$ とすると $u' = 1$。

$v = \sqrt{x^2 + x + 1}$ とすると、$v' = \frac{2x+1}{2\sqrt{x^2 + x + 1}}$。

したがって、

$y' = \frac{1 \cdot \sqrt{x^2 + x + 1} - x \cdot \frac{2x+1}{2\sqrt{x^2 + x + 1}}}{(\sqrt{x^2 + x + 1})^2}$

$= \frac{\frac{2(x^2 + x + 1) - x(2x+1)}{2\sqrt{x^2 + x + 1}}}{x^2 + x + 1}$

$= \frac{2x^2 + 2x + 2 - 2x^2 - x}{2(x^2 + x + 1)\sqrt{x^2 + x + 1}}$

$= \frac{x + 2}{2(x^2 + x + 1)^{3/2}}$

よって、空欄1は2、空欄2は2。

(2)

$y = \frac{1}{3} \sin^2 \sqrt{2x}$ を微分する。

$y' = \frac{1}{3} \cdot 2 \sin \sqrt{2x} \cdot (\sin \sqrt{2x})'$

$= \frac{2}{3} \sin \sqrt{2x} \cdot \cos \sqrt{2x} \cdot (\sqrt{2x})'$

$= \frac{2}{3} \sin \sqrt{2x} \cdot \cos \sqrt{2x} \cdot \frac{2}{2\sqrt{2x}}$

$= \frac{2 \sin \sqrt{2x} \cos \sqrt{2x}}{3\sqrt{2x}}$

よって、空欄3は2、空欄4は3。

3. 最終的な答え

(1) $y' = \frac{x + 2}{2(x^2 + x + 1)^{3/2}}$

(2) $y' = \frac{2 \sin \sqrt{2x} \cos \sqrt{2x}}{3\sqrt{2x}}$