$0 \le \theta < 360^\circ$ のとき、次の不等式を満たす$\theta$の値の範囲を求めよ。 (1) $\cos \theta < \frac{\sqrt{2}}{2}$ (2) $-2 \sin \theta \le \sqrt{3}$ (3) $3 \tan \theta - \sqrt{3} \le 0$

1. 問題の内容

$0 \le \theta < 360^\circ$ のとき、次の不等式を満たす$\theta$の値の範囲を求めよ。

(1) $\cos \theta < \frac{\sqrt{2}}{2}$

(2) $-2 \sin \theta \le \sqrt{3}$

(3) $3 \tan \theta - \sqrt{3} \le 0$

2. 解き方の手順

(1) $\cos \theta < \frac{\sqrt{2}}{2}$ について

$\cos \theta = \frac{\sqrt{2}}{2}$ となる$\theta$は、$\theta = \frac{\pi}{4}, \frac{7\pi}{4}$ である。$\cos \theta < \frac{\sqrt{2}}{2}$ となる$\theta$の範囲は、$\frac{\pi}{4} < \theta < \frac{7\pi}{4}$となる。

(2) $-2 \sin \theta \le \sqrt{3}$ について

$\sin \theta \ge -\frac{\sqrt{3}}{2}$ となる。$\sin \theta = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ となる$\theta$は、$\theta = \frac{5\pi}{3}, \frac{4\pi}{3}$ である。$\sin \theta \ge -\frac{\sqrt{3}}{2}$ となる$\theta$の範囲は、$0 \le \theta \le \frac{4\pi}{3}$または $\frac{5\pi}{3} \le \theta < 2\pi$となる。

(3) $3 \tan \theta - \sqrt{3} \le 0$ について

$\tan \theta \le \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{1}{\sqrt{3}}$ となる。$\tan \theta = \frac{1}{\sqrt{3}}$ となる$\theta$は、$\theta = \frac{\pi}{6}, \frac{7\pi}{6}$ である。$\tan \theta \le \frac{1}{\sqrt{3}}$ となる$\theta$の範囲は、$0 \le \theta \le \frac{\pi}{6}$ または $\frac{\pi}{2} < \theta \le \frac{7\pi}{6}$ または $\frac{3\pi}{2} < \theta < 2\pi$となる。

3. 最終的な答え

(1) $\frac{\pi}{4} < \theta < \frac{7\pi}{4}$

(2) $0 \le \theta \le \frac{4\pi}{3}$ , $\frac{5\pi}{3} \le \theta < 2\pi$

(3) $0 \le \theta \le \frac{\pi}{6}$ , $\frac{\pi}{2} < \theta \le \frac{7\pi}{6}$, $\frac{3\pi}{2} < \theta < 2\pi$