$0^\circ \le \theta < 360^\circ$ のとき、次の不等式を満たす $\theta$ の値の範囲を求めます。 (2) $-2\sin\theta \le \sqrt{3}$ (3) $3\tan\theta - \sqrt{3} \le 0$

1. 問題の内容

$0^\circ \le \theta < 360^\circ$ のとき、次の不等式を満たす $\theta$ の値の範囲を求めます。

(2) $-2\sin\theta \le \sqrt{3}$

(3) $3\tan\theta - \sqrt{3} \le 0$

2. 解き方の手順

(2) $-2\sin\theta \le \sqrt{3}$

まず、両辺を -2 で割ります。不等号の向きが変わることに注意してください。

$\sin\theta \ge -\frac{\sqrt{3}}{2}$

単位円で $\sin\theta = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ となる $\theta$ を求めます。

$\theta = 240^\circ, 300^\circ$

$\sin\theta \ge -\frac{\sqrt{3}}{2}$ なので、 $240^\circ \le \theta \le 300^\circ$

(3) $3\tan\theta - \sqrt{3} \le 0$

$3\tan\theta \le \sqrt{3}$

両辺を 3 で割ります。

$\tan\theta \le \frac{\sqrt{3}}{3}$

$\tan\theta = \frac{\sqrt{3}}{3}$ となる $\theta$ は $\theta = 30^\circ$ です。

$\tan\theta$ は周期 $\pi = 180^\circ$ ごとに繰り返されるので、$\tan\theta = \frac{\sqrt{3}}{3}$ となる別の $\theta$ は $\theta = 30^\circ + 180^\circ = 210^\circ$ です。

$\tan\theta \le \frac{\sqrt{3}}{3}$ なので、$0^\circ \le \theta \le 30^\circ$ または $90^\circ < \theta \le 210^\circ$ または $270^\circ < \theta < 360^\circ$ が解となります。

3. 最終的な答え

(2) $240^\circ \le \theta \le 300^\circ$

(3) $0^\circ \le \theta \le 30^\circ$, $90^\circ < \theta \le 210^\circ$, $270^\circ < \theta < 360^\circ$