与えられた2つの関数について、グラフを図示し、それぞれの最大値、最小値、周期を求め、最大値と最小値を取るときの $\theta$ の値を一つ示す問題です。 (1) $y = 3\sin{2\theta}$ (2) $y = \frac{1}{3}\cos{\{\frac{1}{2}(\theta + 90^\circ)\}}$

1. 問題の内容

与えられた2つの関数について、グラフを図示し、それぞれの最大値、最小値、周期を求め、最大値と最小値を取るときの $\theta$ の値を一つ示す問題です。

(1) $y = 3\sin{2\theta}$

(2) $y = \frac{1}{3}\cos{\{\frac{1}{2}(\theta + 90^\circ)\}}$

2. 解き方の手順

(1) $y = 3\sin{2\theta}$ について

* 最大値: $\sin$関数の最大値は1なので、$y$の最大値は $3 \times 1 = 3$。$\sin{2\theta} = 1$ となるとき、$2\theta = 90^\circ$ より、$\theta = 45^\circ$。

* 最小値: $\sin$関数の最小値は-1なので、$y$の最小値は $3 \times (-1) = -3$。$\sin{2\theta} = -1$ となるとき、$2\theta = 270^\circ$ より、$\theta = 135^\circ$。

* 周期: $\sin{B\theta}$ の周期は $\frac{360^\circ}{B}$ なので、周期は $\frac{360^\circ}{2} = 180^\circ$。

(2) $y = \frac{1}{3}\cos{\{\frac{1}{2}(\theta + 90^\circ)\}}$ について

* 変形: $y = \frac{1}{3}\cos{(\frac{1}{2}\theta + 45^\circ)}$。

* 最大値: $\cos$関数の最大値は1なので、$y$の最大値は $\frac{1}{3} \times 1 = \frac{1}{3}$。$\cos{(\frac{1}{2}\theta + 45^\circ)} = 1$ となるとき、$\frac{1}{2}\theta + 45^\circ = 0^\circ$ より、$\frac{1}{2}\theta = -45^\circ$、$\theta = -90^\circ$。

* 最小値: $\cos$関数の最小値は-1なので、$y$の最小値は $\frac{1}{3} \times (-1) = -\frac{1}{3}$。$\cos{(\frac{1}{2}\theta + 45^\circ)} = -1$ となるとき、$\frac{1}{2}\theta + 45^\circ = 180^\circ$ より、$\frac{1}{2}\theta = 135^\circ$、$\theta = 270^\circ$。

* 周期: $\cos{(B\theta + C)}$ の周期は $\frac{360^\circ}{|B|}$ なので、周期は $\frac{360^\circ}{\frac{1}{2}} = 720^\circ$。

3. 最終的な答え

(1) $y = 3\sin{2\theta}$

* 最大値: $3$ ($\theta = 45^\circ$ のとき)

* 最小値: $-3$ ($\theta = 135^\circ$ のとき)

* 周期: $180^\circ$

(2) $y = \frac{1}{3}\cos{\{\frac{1}{2}(\theta + 90^\circ)\}}$

* 最大値: $\frac{1}{3}$ ($\theta = -90^\circ$ のとき)

* 最小値: $-\frac{1}{3}$ ($\theta = 270^\circ$ のとき)

* 周期: $720^\circ$