赤玉4個と白玉2個が入った袋から玉を1つ取り出し、色を確認後袋に戻すという試行を4回繰り返す。このとき、赤玉が2回出る確率を求める。

1. 問題の内容

赤玉4個と白玉2個が入った袋から玉を1つ取り出し、色を確認後袋に戻すという試行を4回繰り返す。このとき、赤玉が2回出る確率を求める。

2. 解き方の手順

この問題は反復試行の確率の問題である。

1回の試行で赤玉が出る確率は $\frac{4}{4+2} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$ である。

1回の試行で白玉が出る確率は $\frac{2}{4+2} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$ である。

4回の試行で赤玉が2回出る確率は、二項分布に従い、次のように計算できる。

$$_4C_2 \left( \frac{2}{3} \right)^2 \left( \frac{1}{3} \right)^2$$

ここで、$_4C_2$ は4回中2回赤玉が出る組み合わせの数で、

$$_4C_2 = \frac{4!}{2! (4-2)!} = \frac{4!}{2! 2!} = \frac{4 \times 3 \times 2 \times 1}{(2 \times 1) (2 \times 1)} = \frac{24}{4} = 6$$

したがって、確率は

$$6 \times \left( \frac{2}{3} \right)^2 \times \left( \frac{1}{3} \right)^2 = 6 \times \frac{4}{9} \times \frac{1}{9} = 6 \times \frac{4}{81} = \frac{24}{81} = \frac{8}{27}$$

3. 最終的な答え

$\frac{8}{27}$