三角形ABCにおいて、ADはBCに対する垂線であり、AD = 12, AB = 15, AC = 13である。このとき、BCの長さ$x$を求めよ。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、ADはBCに対する垂線であり、AD = 12, AB = 15, AC = 13である。このとき、BCの長さ$x$を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、三角形ABDと三角形ACDは直角三角形であることに注目する。

BDの長さを$y$とおくと、CDの長さは$x-y$となる。

それぞれの直角三角形に対してピタゴラスの定理を適用する。

三角形ABDにおいて、

$AB^2 = AD^2 + BD^2$

$15^2 = 12^2 + y^2$

$225 = 144 + y^2$

$y^2 = 81$

$y = 9$

三角形ACDにおいて、

$AC^2 = AD^2 + CD^2$

$13^2 = 12^2 + (x-y)^2$

$169 = 144 + (x-y)^2$

$(x-y)^2 = 25$

$x-y = \pm 5$

$y = 9$を代入すると、

$x - 9 = \pm 5$

$x = 9 \pm 5$

$x = 14$または$x = 4$

$x = 4$の場合、CD = $x - y = 4 - 9 = -5$となり、長さが負になるのは不適切である。

したがって、$x = 14$となる。

3. 最終的な答え

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