$a, b, c$ はそれぞれ1桁の数である。3桁の数を $abc$ と表記するとき、7進法で表すと $abc_{(7)}$ になり、5進法で表すと $bca_{(5)}$ になる数を10進法で表す。

1. 問題の内容

$a, b, c$ はそれぞれ1桁の数である。3桁の数を $abc$ と表記するとき、7進法で表すと $abc_{(7)}$ になり、5進法で表すと $bca_{(5)}$ になる数を10進法で表す。

2. 解き方の手順

まず、$abc_{(7)}$ と $bca_{(5)}$ をそれぞれ10進法で表す。

$abc_{(7)} = a \times 7^2 + b \times 7^1 + c \times 7^0 = 49a + 7b + c$

$bca_{(5)} = b \times 5^2 + c \times 5^1 + a \times 5^0 = 25b + 5c + a$

これらが等しいので、以下の式が成り立つ。

$49a + 7b + c = 25b + 5c + a$

$48a = 18b + 4c$

$24a = 9b + 2c$

$a, b, c$ は1桁の数なので、$0 \le a, b, c \le 6$ を満たす。ただし、$a, b$ は最上位の桁なので0でない。

$b, c$ について、$9b + 2c = 24a$ より、$9b + 2c$ は24の倍数。

$a = 1$ のとき、$9b + 2c = 24$

$b = 2$ のとき $18 + 2c = 24$ より $2c = 6$ なので $c = 3$

$a = 2$ のとき、$9b + 2c = 48$

$b = 4$ のとき $36 + 2c = 48$ より $2c = 12$ なので $c = 6$

$a = 3$ のとき、$9b + 2c = 72$

$b = 8$ のとき $72 + 2c = 72$ より $2c = 0$ なので $c = 0$

ここで、$a, b, c \le 6$ であることを考慮すると、$a=1, b=2, c=3$ または $a=2, b=4, c=6$ のいずれかである。$a,b,c$は５進数でも用いられるので，$a,b,c<5$を満たさなければならない。したがって、$a=1, b=2, c=3$ である。

よって、求める10進法の数は

$49a + 7b + c = 49(1) + 7(2) + 3 = 49 + 14 + 3 = 66$

3. 最終的な答え

66