自然数 $n$ に対して、$n$, $n+2$, $n+4$ がすべて素数となるのは $n=3$ の場合に限ることを、すべての自然数が $3k-2$, $3k-1$, $3k$ ($k$ は自然数) のいずれかで表されることを利用して示す。

1. 問題の内容

自然数 $n$ に対して、$n$, $n+2$, $n+4$ がすべて素数となるのは $n=3$ の場合に限ることを、すべての自然数が $3k-2$, $3k-1$, $3k$ ($k$ は自然数) のいずれかで表されることを利用して示す。

2. 解き方の手順

すべての自然数 $n$ は、$3k-2$, $3k-1$, $3k$ ($k$ は自然数) のいずれかで表される。以下、それぞれの場合について考える。

* $n = 3k-2$ のとき:

$n+4 = (3k-2) + 4 = 3k+2$。この場合、$n$ が素数となるための $k$ の条件を特定することは難しい。

* $n = 3k-1$ のとき:

$n+2 = (3k-1) + 2 = 3k+1$。この場合も、$n$ が素数となるための $k$ の条件を特定することは難しい。

* $n = 3k$ のとき:

$n$ が素数であるためには、$n=3$ である必要がある。なぜなら、$n$ が3の倍数で素数であるのは3に限られるからである。$n=3$ のとき、$n+2=5$, $n+4=7$ となり、これらも素数である。

したがって、$n=3$ は条件を満たす。

次に、$k \ge 2$ の場合を考える。このとき、$n=3k \ge 6$ なので、$n$ は合成数となり、題意を満たさない。

次に、$n=1$の場合、$n=1$は素数ではないので、条件を満たさない。

$n=2$の場合、$n+2=4$なので、これは素数ではない。

以上より、$n$, $n+2$, $n+4$ がすべて素数となるのは、$n=3$ の場合に限られる。

3. 最終的な答え

$n$, $n+2$, $n+4$ がすべて素数であるのは、$n=3$ の場合に限られる。