与えられた問題は3つの部分から構成されています。 (1) 整数 $n$ に対して、$n^5 - n$ が 5 の倍数であることを証明します。 (2) 整数 $n$ が 2 で割ると 1 余る (奇数である) とき、$n^2 - 1$ が 8 の倍数であることを証明します。 (3) 整数 $n$ が 2 で割ると 1 余る (奇数である) とき、$n^5 - n$ が 120 の倍数であることを証明します。

1. 問題の内容

与えられた問題は3つの部分から構成されています。

(1) 整数 $n$ に対して、$n^5 - n$ が 5 の倍数であることを証明します。

(2) 整数 $n$ が 2 で割ると 1 余る (奇数である) とき、$n^2 - 1$ が 8 の倍数であることを証明します。

(3) 整数 $n$ が 2 で割ると 1 余る (奇数である) とき、$n^5 - n$ が 120 の倍数であることを証明します。

2. 解き方の手順

(1) $n^5 - n$ が 5 の倍数であることの証明

$n^5 - n$ を因数分解します。

$$n^5 - n = n(n^4 - 1) = n(n^2 - 1)(n^2 + 1) = n(n - 1)(n + 1)(n^2 + 1)$$

$n(n-1)(n+1)$ は連続する3つの整数の積なので、少なくとも2の倍数かつ3の倍数です。

さらに、$n^5 - n = (n - 1)n(n + 1)(n^2 + 1)$ であることから、$n$ を 5 で割った余りで場合分けして考えます。

* $n \equiv 0 \pmod{5}$ のとき、$n$ が 5 の倍数なので、$n^5 - n$ も 5 の倍数。

* $n \equiv 1 \pmod{5}$ のとき、$n - 1$ が 5 の倍数なので、$n^5 - n$ も 5 の倍数。

* $n \equiv 2 \pmod{5}$ のとき、$n^2 + 1 \equiv 2^2 + 1 \equiv 5 \equiv 0 \pmod{5}$ なので、$n^2 + 1$ が 5 の倍数。したがって、$n^5 - n$ も 5 の倍数。

* $n \equiv 3 \pmod{5}$ のとき、$n^2 + 1 \equiv 3^2 + 1 \equiv 10 \equiv 0 \pmod{5}$ なので、$n^2 + 1$ が 5 の倍数。したがって、$n^5 - n$ も 5 の倍数。

* $n \equiv 4 \pmod{5}$ のとき、$n + 1 \equiv 4 + 1 \equiv 5 \equiv 0 \pmod{5}$ なので、$n + 1$ が 5 の倍数。したがって、$n^5 - n$ も 5 の倍数。

したがって、$n^5 - n$ は常に 5 の倍数です。

(2) $n$ が 2 で割ると 1 余る (奇数である) とき、$n^2 - 1$ が 8 の倍数であることの証明

$n$ が奇数なので、$n = 2k + 1$ （$k$ は整数）と表すことができます。

このとき、

$$n^2 - 1 = (2k + 1)^2 - 1 = 4k^2 + 4k + 1 - 1 = 4k^2 + 4k = 4k(k + 1)$$

$k$ と $k + 1$ は連続する 2 つの整数なので、必ずどちらか一方は偶数です。したがって、$k(k+1)$ は2の倍数です。$k(k+1) = 2m$ ($m$ は整数) と表せるので、

$n^2 - 1 = 4k(k + 1) = 4(2m) = 8m$ となり、$n^2 - 1$ は 8 の倍数です。

(3) $n$ が 2 で割ると 1 余る (奇数である) とき、$n^5 - n$ が 120 の倍数であることの証明

$n$ が奇数なので、$n = 2k + 1$ （$k$ は整数）と表すことができます。

(1)より$n^5-n = n(n-1)(n+1)(n^2+1)$

(2)より $n^2-1$ は 8の倍数です。

$n^5-n=(n^2-1)n(n^2+1)$

$n^2 + 1 = (2k + 1)^2 + 1 = 4k^2 + 4k + 2 = 2(2k^2 + 2k + 1)$

$n^5 - n = (2k+1)(2k+1-1)(2k+1+1)((2k+1)^2+1) = (2k+1)(2k)(2k+2)(4k^2+4k+2) = (2k+1)(2k)(2(k+1))(2(2k^2+2k+1))=8(2k+1)(k)(k+1)(2k^2+2k+1)$

(1)より、$n^5-n$ は5の倍数であり、nが偶数の場合と奇数の場合で$n^5-n$が3の倍数になることを示します。

nが奇数なので、$n=2k+1$,　$n^5-n = (2k+1)^5-(2k+1)$

nが偶数ならば、nが3の倍数の場合か、n-1またはn+1が3の倍数です。

nが奇数の場合、$n-1$と$n+1$が偶数であり、どちらか一方が4の倍数になるので、$n-1$と$n+1$の積は8の倍数であり、nが3の倍数となるか、n-1またはn+1が3の倍数となります。

$n^5 - n$ は 3の倍数、5の倍数、8の倍数であることが示されたので、$n^5 - n$ は 3 * 5 * 8 = 120 の倍数となります。

3. 最終的な答え

(1) $n^5 - n$ は 5 の倍数である。

(2) $n^2 - 1$ は 8 の倍数である。

(3) $n^5 - n$ は 120 の倍数である。