4本の当たりくじと8本のハズレくじがある。A君、B君、C君の順に1本ずつくじを引き、引いたくじは戻さない。A君が当たりを引く確率は$1/3$、B君が当たりを引く確率は$3/11$、C君が当たりを引く確率は$1/5$である。3人とも当たりくじを引く確率を求めよ。

1. 問題の内容

4本の当たりくじと8本のハズレくじがある。A君、B君、C君の順に1本ずつくじを引き、引いたくじは戻さない。A君が当たりを引く確率は$1/3$、B君が当たりを引く確率は$3/11$、C君が当たりを引く確率は$1/5$である。3人とも当たりくじを引く確率を求めよ。

2. 解き方の手順

3人とも当たりを引く確率は、$P(A \cap B \cap C) = P(A) \times P(B|A) \times P(C|A \cap B)$ で計算できる。

A君が当たりを引く確率は$P(A) = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}$と与えられている。

A君が当たりを引いたとき、残り3本の当たりと8本のハズレが残っている。

このとき、B君が当たりを引く確率は$\frac{3}{11}$と与えられている。

すなわち、$P(B|A) = \frac{3}{11}$

A君とB君が当たりを引いたとき、残り2本の当たりと8本のハズレが残っている。

このとき、C君が当たりを引く確率は$P(C|A \cap B) = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$ となる。

3人とも当たりを引く確率は、

$P(A \cap B \cap C) = P(A) \times P(B|A) \times P(C|A \cap B) = \frac{1}{3} \times \frac{3}{11} \times \frac{1}{5} = \frac{1}{55}$

3. 最終的な答え

$\frac{1}{55}$