$p$ を3以上の素数とし、$x$, $y$ を自然数とするとき、$x^2 - y^2 = p$ を満たす $x$, $y$ を求める問題です。

1. 問題の内容

$p$ を3以上の素数とし、$x$, $y$ を自然数とするとき、$x^2 - y^2 = p$ を満たす $x$, $y$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

$x^2 - y^2$ を因数分解すると、

$$(x+y)(x-y) = p$$

$p$ は素数なので、$p$ の約数は $1$ と $p$ のみです。$x$, $y$ は自然数なので、$x+y > 0$ かつ $x-y > 0$ となります。また、$x+y > x-y$ である必要があります。よって、以下の連立方程式が成り立ちます。

$$x+y = p$$

$$x-y = 1$$

この連立方程式を解きます。

2つの式を足すと、

$$2x = p+1$$

$$x = \frac{p+1}{2}$$

2つの式を引くと、

$$2y = p-1$$

$$y = \frac{p-1}{2}$$

$p$ は3以上の素数なので、$p$ は奇数です。したがって、$p+1$ と $p-1$ は偶数なので、$x$ と $y$ は自然数となります。

3. 最終的な答え

$$x = \frac{p+1}{2}$$

$$y = \frac{p-1}{2}$$