$a > 0$ のとき、定積分 $I = \int_{0}^{2} |x(x-a)| dx$ の値を求めよ。ただし、$0 < a < 2$ とする。

1. 問題の内容

$a > 0$ のとき、定積分 $I = \int_{0}^{2} |x(x-a)| dx$ の値を求めよ。ただし、$0 < a < 2$ とする。

2. 解き方の手順

まず、$f(x) = x(x-a)$ とおく。$f(x) = 0$ となるのは $x = 0$ または $x = a$ のときである。積分範囲は $0 \leq x \leq 2$ であり、$0 < a < 2$ より、$0$ と $a$ は積分範囲に含まれる。$0 < x < a$ では $x-a < 0$ より $f(x) < 0$ であり、$a < x < 2$ では $x-a > 0$ より $f(x) > 0$ である。したがって、

$|x(x-a)| = \begin{cases}

-x(x-a) & (0 \leq x \leq a) \\

x(x-a) & (a \leq x \leq 2)

\end{cases}$

となる。よって、積分は以下のように分割できる。

$I = \int_{0}^{2} |x(x-a)| dx = \int_{0}^{a} -x(x-a) dx + \int_{a}^{2} x(x-a) dx$

それぞれの積分を計算する。

$\int_{0}^{a} -x(x-a) dx = \int_{0}^{a} (-x^2 + ax) dx = \left[-\frac{1}{3}x^3 + \frac{1}{2}ax^2\right]_{0}^{a} = -\frac{1}{3}a^3 + \frac{1}{2}a^3 = \frac{1}{6}a^3$

$\int_{a}^{2} x(x-a) dx = \int_{a}^{2} (x^2 - ax) dx = \left[\frac{1}{3}x^3 - \frac{1}{2}ax^2\right]_{a}^{2} = \left(\frac{8}{3} - 2a\right) - \left(\frac{1}{3}a^3 - \frac{1}{2}a^3\right) = \frac{8}{3} - 2a - \frac{1}{6}a^3$

したがって、

$I = \frac{1}{6}a^3 + \frac{8}{3} - 2a - \frac{1}{6}a^3 = \frac{8}{3} - 2a$

3. 最終的な答え

$I = \frac{8}{3} - 2a$