双曲線 $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ (ただし $a > 0$, $b > 0$) 上の点 P($p$, $q$) (ただし $p > 0$, $q > 0$) を通り、2つの漸近線にそれぞれ平行な直線を引く。漸近線と交わる点を y 座標が大きいほうから順に Q, R とする。このとき、平行四辺形 ORPQ (O は原点) の面積 S を求めよ。

1. 問題の内容

双曲線 $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ (ただし $a > 0$, $b > 0$) 上の点 P($p$, $q$) (ただし $p > 0$, $q > 0$) を通り、2つの漸近線にそれぞれ平行な直線を引く。漸近線と交わる点を y 座標が大きいほうから順に Q, R とする。このとき、平行四辺形 ORPQ (O は原点) の面積 S を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、双曲線の漸近線を求める。$\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ より、$y = \pm \frac{b}{a}x$ が漸近線である。

点 P($p$, $q$) を通り、漸近線 $y = \frac{b}{a}x$ に平行な直線の方程式は、傾きが $\frac{b}{a}$ なので、

$y - q = \frac{b}{a}(x - p)$

$y = \frac{b}{a}x - \frac{b}{a}p + q$

この直線と漸近線 $y = -\frac{b}{a}x$ との交点 R の y 座標を求める。

$\frac{b}{a}x - \frac{b}{a}p + q = -\frac{b}{a}x$

$\frac{2b}{a}x = \frac{b}{a}p - q$

$x = \frac{ap}{2a} - \frac{aq}{2b} = \frac{p}{2} - \frac{aq}{2b}$

したがって、R の座標は $(\frac{p}{2} - \frac{aq}{2b}, -\frac{b}{a}(\frac{p}{2} - \frac{aq}{2b})) = (\frac{p}{2} - \frac{aq}{2b}, -\frac{bp}{2a} + \frac{q}{2})$

同様に、点 P($p$, $q$) を通り、漸近線 $y = -\frac{b}{a}x$ に平行な直線の方程式は、傾きが $-\frac{b}{a}$ なので、

$y - q = -\frac{b}{a}(x - p)$

$y = -\frac{b}{a}x + \frac{b}{a}p + q$

この直線と漸近線 $y = \frac{b}{a}x$ との交点 Q の y 座標を求める。

$-\frac{b}{a}x + \frac{b}{a}p + q = \frac{b}{a}x$

$-\frac{2b}{a}x = -\frac{b}{a}p - q$

$x = \frac{ap}{2a} + \frac{aq}{2b} = \frac{p}{2} + \frac{aq}{2b}$

したがって、Q の座標は $(\frac{p}{2} + \frac{aq}{2b}, \frac{b}{a}(\frac{p}{2} + \frac{aq}{2b})) = (\frac{p}{2} + \frac{aq}{2b}, \frac{bp}{2a} + \frac{q}{2})$

平行四辺形 ORPQ の面積 S は、ベクトル OP と OR の外積の絶対値の 2 倍である。

$\vec{OP} = \begin{pmatrix} p \\ q \end{pmatrix}$

$\vec{OR} = \begin{pmatrix} \frac{p}{2} - \frac{aq}{2b} \\ -\frac{bp}{2a} + \frac{q}{2} \end{pmatrix}$

$S = \left| p(-\frac{bp}{2a} + \frac{q}{2}) - q(\frac{p}{2} - \frac{aq}{2b}) \right|$

$S = \left| -\frac{bp^2}{2a} + \frac{pq}{2} - \frac{pq}{2} + \frac{aq^2}{2b} \right|$

$S = \left| -\frac{bp^2}{2a} + \frac{aq^2}{2b} \right|$

$P(p, q)$ は双曲線 $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ 上の点なので、$\frac{p^2}{a^2} - \frac{q^2}{b^2} = 1$

$\frac{p^2}{a^2} = \frac{q^2}{b^2} + 1$

$p^2 = a^2(\frac{q^2}{b^2} + 1)$

$S = \left| -\frac{b}{2a}a^2(\frac{q^2}{b^2} + 1) + \frac{aq^2}{2b} \right|$

$S = \left| -\frac{ab}{2}(\frac{q^2}{b^2} + 1) + \frac{aq^2}{2b} \right|$

$S = \left| -\frac{aq^2}{2b} - \frac{ab}{2} + \frac{aq^2}{2b} \right|$

$S = \left| -\frac{ab}{2} \right| = \frac{ab}{2}$

3. 最終的な答え

$\frac{ab}{2}$