$a$ と $b$ は互いに素な自然数、$p$ と $q$ も互いに素な自然数とする。$\frac{p}{a} = \frac{q}{b}$ が成り立つとき、この値が $1$ となることを示す。

1. 問題の内容

$a$ と $b$ は互いに素な自然数、$p$ と $q$ も互いに素な自然数とする。$\frac{p}{a} = \frac{q}{b}$ が成り立つとき、この値が $1$ となることを示す。

2. 解き方の手順

$\frac{p}{a} = \frac{q}{b}$ が成り立つので、両辺に $ab$ を掛けると、

$bp = aq$

となる。

$a$ と $b$ は互いに素なので、$p$ は $a$ の倍数である必要がある。

同様に、$q$ は $b$ の倍数である必要がある。

したがって、$p = ka$ および $q = lb$ （$k, l$は整数）と表せる。

$bp = aq$ に $p = ka$ および $q = lb$ を代入すると、

$b(ka) = a(lb)$

$kab = lab$

$k = l$

が得られる。

したがって、$p = ka$ かつ $q = kb$ となる。

$\frac{p}{a} = \frac{ka}{a} = k$

$\frac{q}{b} = \frac{kb}{b} = k$

$p$ と $q$ は互いに素な自然数なので、$k=1$となる。もし、$k$が$1$より大きい数だとすると、$p=ka$と$q=kb$は互いに素でなくなってしまう。

したがって、

$\frac{p}{a} = \frac{q}{b} = 1$

3. 最終的な答え

$\frac{p}{a} = \frac{q}{b} = 1$