白玉3個と黒玉2個が入った袋から、玉を戻さずに2回取り出す。白玉が出る回数を確率変数Xとする時、Xの確率分布を求める。

1. 問題の内容

白玉3個と黒玉2個が入った袋から、玉を戻さずに2回取り出す。白玉が出る回数を確率変数Xとする時、Xの確率分布を求める。

2. 解き方の手順

Xは白玉の出る回数なので、取りうる値は0, 1, 2。それぞれの確率を計算する。

* X = 0 (2回とも黒玉)の場合：

1回目の黒玉の確率は $2/5$。

1回目に黒玉が出た後、残りの玉は白玉3個、黒玉1個なので、2回目の黒玉の確率は $1/4$。

したがって、X=0の確率は $P(X=0) = (2/5) * (1/4) = 2/20 = 1/10$

* X = 1 (白玉1回、黒玉1回)の場合：

白玉、黒玉の順に出る場合と、黒玉、白玉の順に出る場合がある。

白玉、黒玉の順に出る確率は、$(3/5)*(2/4) = 6/20 = 3/10$。

黒玉、白玉の順に出る確率は、$(2/5)*(3/4) = 6/20 = 3/10$。

したがって、X=1の確率は $P(X=1) = (3/10) + (3/10) = 6/10 = 3/5$

* X = 2 (2回とも白玉)の場合：

1回目の白玉の確率は $3/5$。

1回目に白玉が出た後、残りの玉は白玉2個、黒玉2個なので、2回目の白玉の確率は $2/4$。

したがって、X=2の確率は $P(X=2) = (3/5) * (2/4) = 6/20 = 3/10$

確率分布は以下のようになる。

| X | 0 | 1 | 2 | 計 |

| :---- | :----- | :----- | :----- | :--- |

| P(X) | 1/10 | 3/5 | 3/10 | 1 |

3. 最終的な答え

X = 0 のとき、確率は 1/10

X = 1 のとき、確率は 3/5

X = 2 のとき、確率は 3/10