袋の中に白玉が4個、黒玉が2個入っている。この袋から玉を1個ずつ元に戻さずに2回続けて取り出す。白玉の出る回数を確率変数$X$とする時、$X$の確率分布を求める。

1. 問題の内容

袋の中に白玉が4個、黒玉が2個入っている。この袋から玉を1個ずつ元に戻さずに2回続けて取り出す。白玉の出る回数を確率変数$X$とする時、$X$の確率分布を求める。

2. 解き方の手順

$X$は白玉の出る回数なので、$X$が取りうる値は0, 1, 2である。それぞれの確率を計算する。

* $X = 0$の場合：2回とも黒玉が出る確率

1回目に黒玉が出る確率は $\frac{2}{6} = \frac{1}{3}$

2回目に黒玉が出る確率は $\frac{1}{5}$

したがって、 $P(X=0) = \frac{1}{3} \times \frac{1}{5} = \frac{1}{15}$

* $X = 1$の場合：1回目に白玉が出て2回目に黒玉が出るか、1回目に黒玉が出て2回目に白玉が出る確率

1回目に白玉、2回目に黒玉が出る確率は $\frac{4}{6} \times \frac{2}{5} = \frac{4}{15}$

1回目に黒玉、2回目に白玉が出る確率は $\frac{2}{6} \times \frac{4}{5} = \frac{4}{15}$

したがって、 $P(X=1) = \frac{4}{15} + \frac{4}{15} = \frac{8}{15}$

* $X = 2$の場合：2回とも白玉が出る確率

1回目に白玉が出る確率は $\frac{4}{6} = \frac{2}{3}$

2回目に白玉が出る確率は $\frac{3}{5}$

したがって、 $P(X=2) = \frac{2}{3} \times \frac{3}{5} = \frac{2}{5} = \frac{6}{15}$

確率の合計を確認する: $\frac{1}{15} + \frac{8}{15} + \frac{6}{15} = \frac{15}{15} = 1$

3. 最終的な答え

| X | 0 | 1 | 2 | 計 |

|---|------|------|------|------|

| P | 1/15 | 8/15 | 6/15 | 1 |