三角形ABCにおいて、$AB=6$, $BC=7$, $CA=8$である。BCの中点をMとし、角Aの二等分線とBCの交点をPとする。このとき、以下のものを求める。 (1) $\cos B$ (2) 中線AMの長さ (3) 線分BPの長さ (4) 線分APの長さ

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、$AB=6$, $BC=7$, $CA=8$である。BCの中点をMとし、角Aの二等分線とBCの交点をPとする。このとき、以下のものを求める。

(1) $\cos B$

(2) 中線AMの長さ

(3) 線分BPの長さ

(4) 線分APの長さ

2. 解き方の手順

(1) $\cos B$を求める。余弦定理より、

$CA^2 = AB^2 + BC^2 - 2(AB)(BC)\cos B$

$8^2 = 6^2 + 7^2 - 2(6)(7)\cos B$

$64 = 36 + 49 - 84\cos B$

$64 = 85 - 84\cos B$

$84\cos B = 85 - 64$

$84\cos B = 21$

$\cos B = \frac{21}{84} = \frac{1}{4}$

(2) 中線AMの長さを求める。中線定理より、

$AB^2 + AC^2 = 2(AM^2 + BM^2)$

$6^2 + 8^2 = 2(AM^2 + (\frac{7}{2})^2)$

$36 + 64 = 2(AM^2 + \frac{49}{4})$

$100 = 2AM^2 + \frac{49}{2}$

$2AM^2 = 100 - \frac{49}{2} = \frac{200 - 49}{2} = \frac{151}{2}$

$AM^2 = \frac{151}{4}$

$AM = \sqrt{\frac{151}{4}} = \frac{\sqrt{151}}{2}$

(3) 線分BPの長さを求める。角の二等分線の定理より、

$BP:PC = AB:AC = 6:8 = 3:4$

$BP = \frac{3}{3+4}BC = \frac{3}{7} \times 7 = 3$

(4) 線分APの長さを求める。$\triangle ABP$において余弦定理より、

$AP^2 = AB^2 + BP^2 - 2(AB)(BP)\cos B$

$AP^2 = 6^2 + 3^2 - 2(6)(3)(\frac{1}{4})$

$AP^2 = 36 + 9 - 36(\frac{1}{4}) = 45 - 9 = 36$

$AP = \sqrt{36} = 6$

3. 最終的な答え

(1) $\cos B = \frac{1}{4}$

(2) $AM = \frac{\sqrt{151}}{2}$

(3) $BP = 3$

(4) $AP = 6$