(1) $60^\circ \le x \le 135^\circ$ のとき、$\cos x$ の値の範囲を求める。 (2) $y = 5\sin^2 x - 6\cos x - 3$ ($60^\circ \le x \le 135^\circ$) の最大値と、そのときの $\cos x$, $\sin x$ の値を求める。

1. 問題の内容

(1) $60^\circ \le x \le 135^\circ$ のとき、$\cos x$ の値の範囲を求める。

(2) $y = 5\sin^2 x - 6\cos x - 3$ ($60^\circ \le x \le 135^\circ$) の最大値と、そのときの $\cos x$, $\sin x$ の値を求める。

2. 解き方の手順

(1)

$60^\circ \le x \le 135^\circ$における $\cos x$ の値を考える。

$\cos x$ は $x$ が増加すると減少する関数である。

$\cos 60^\circ = \frac{1}{2}$

$\cos 135^\circ = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

したがって、$\cos x$ の値の範囲は $-\frac{\sqrt{2}}{2} \le \cos x \le \frac{1}{2}$となる。

(2)

まず、$y = 5\sin^2 x - 6\cos x - 3$ を $\cos x$ の関数として表す。

$\sin^2 x = 1 - \cos^2 x$ より、

$y = 5(1 - \cos^2 x) - 6\cos x - 3$

$y = 5 - 5\cos^2 x - 6\cos x - 3$

$y = -5\cos^2 x - 6\cos x + 2$

$t = \cos x$ とおくと、$y = -5t^2 - 6t + 2$ となる。

(1)より、$-\frac{\sqrt{2}}{2} \le t \le \frac{1}{2}$ である。

$y = -5(t^2 + \frac{6}{5}t) + 2$

$y = -5(t^2 + \frac{6}{5}t + (\frac{3}{5})^2) + 5(\frac{3}{5})^2 + 2$

$y = -5(t + \frac{3}{5})^2 + \frac{9}{5} + 2$

$y = -5(t + \frac{3}{5})^2 + \frac{19}{5}$

$y$ は $t = -\frac{3}{5}$ のとき最大値 $\frac{19}{5}$ をとる。

$-\frac{\sqrt{2}}{2} \le -\frac{3}{5} \le \frac{1}{2}$ を満たすので、$t = -\frac{3}{5}$ は有効である。

$\cos x = -\frac{3}{5}$ のとき、

$\sin^2 x = 1 - \cos^2 x = 1 - (-\frac{3}{5})^2 = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25}$

$\sin x = \pm \frac{4}{5}$

$60^\circ \le x \le 135^\circ$ では、$\sin x \ge 0$ なので、$\sin x = \frac{4}{5}$ である。

3. 最終的な答え

(1) $-\frac{\sqrt{2}}{2} \le \cos x \le \frac{1}{2}$

(2) 最大値: $\frac{19}{5}$, そのとき $\cos x = -\frac{3}{5}$, $\sin x = \frac{4}{5}$