(1) $60^\circ \le x \le 135^\circ$ のとき、$\cos x$ の値の範囲を求めよ。 (2) $y = 5 \sin^2 x - 6 \cos x - 3$ ($60^\circ \le x \le 135^\circ$) の最大値と、そのときの $\cos x$、$\sin x$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

(1) $60^\circ \le x \le 135^\circ$ のとき、$\cos x$ の値の範囲を求めよ。

(2) $y = 5 \sin^2 x - 6 \cos x - 3$ ($60^\circ \le x \le 135^\circ$) の最大値と、そのときの $\cos x$、$\sin x$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

$60^\circ \le x \le 135^\circ$ の範囲において、$\cos x$ は減少関数である。

$x = 60^\circ$ のとき、$\cos x = \cos 60^\circ = \frac{1}{2}$

$x = 135^\circ$ のとき、$\cos x = \cos 135^\circ = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

したがって、$\cos x$ の値の範囲は $-\frac{\sqrt{2}}{2} \le \cos x \le \frac{1}{2}$

(2)

$y = 5 \sin^2 x - 6 \cos x - 3$ を $\cos x$ を用いて表す。

$\sin^2 x = 1 - \cos^2 x$ より、

$y = 5(1 - \cos^2 x) - 6 \cos x - 3 = 5 - 5 \cos^2 x - 6 \cos x - 3 = -5 \cos^2 x - 6 \cos x + 2$

ここで、$t = \cos x$ とおくと、$y = -5t^2 - 6t + 2$ となる。

(1) の結果から、$-\frac{\sqrt{2}}{2} \le t \le \frac{1}{2}$ である。

$y = -5t^2 - 6t + 2 = -5(t^2 + \frac{6}{5}t) + 2 = -5(t + \frac{3}{5})^2 + 5(\frac{9}{25}) + 2 = -5(t + \frac{3}{5})^2 + \frac{9}{5} + 2 = -5(t + \frac{3}{5})^2 + \frac{19}{5}$

$t = -\frac{3}{5}$ のとき、$y$ は最大値 $\frac{19}{5}$ をとる。

このとき、$-\frac{\sqrt{2}}{2} \le -\frac{3}{5} \le \frac{1}{2}$ を満たすので、$t = -\frac{3}{5}$ はこの範囲にある。

$\cos x = -\frac{3}{5}$ のとき、$\sin^2 x = 1 - \cos^2 x = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25}$

$60^\circ \le x \le 135^\circ$ より、$\sin x > 0$ であるから、$\sin x = \sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{4}{5}$

したがって、最大値は $\frac{19}{5}$ であり、このときの $\cos x = -\frac{3}{5}$、$\sin x = \frac{4}{5}$ である。

3. 最終的な答え

(1) $-\frac{\sqrt{2}}{2} \le \cos x \le \frac{1}{2}$

(2) 最大値: $\frac{19}{5}$、$\cos x = -\frac{3}{5}$、$\sin x = \frac{4}{5}$