$x^2 - 3x + 2 = 0$ を解くと、$(x-1)(x-2) = 0$ より、$x = 1, 2$ が得られます。

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1. 問題の内容

与えられた定積分を計算します。

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\int_0^2 |x^2 - 3x + 2| dx

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2. 解き方の手順

1. 絶対値の中の式 $x^2 - 3x + 2$ の符号が変化する点を求めます。

$x^2 - 3x + 2 = 0$ を解くと、$(x-1)(x-2) = 0$ より、$x = 1, 2$ が得られます。

2. 区間 $[0, 2]$ を、符号が変化する点 $x=1, 2$ で分割します。

- $0 \le x < 1$ のとき、$x^2 - 3x + 2 > 0$

- $1 < x < 2$ のとき、$x^2 - 3x + 2 < 0$

- $x = 1, 2$ のとき、$x^2 - 3x + 2 = 0$

3. 定積分を分割して計算します。

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\int_0^2 |x^2 - 3x + 2| dx = \int_0^1 (x^2 - 3x + 2) dx + \int_1^2 -(x^2 - 3x + 2) dx

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4. それぞれの定積分を計算します。

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\int_0^1 (x^2 - 3x + 2) dx = \left[ \frac{1}{3}x^3 - \frac{3}{2}x^2 + 2x \right]_0^1 = \frac{1}{3} - \frac{3}{2} + 2 = \frac{2 - 9 + 12}{6} = \frac{5}{6}

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\int_1^2 -(x^2 - 3x + 2) dx = -\left[ \frac{1}{3}x^3 - \frac{3}{2}x^2 + 2x \right]_1^2 = -\left( (\frac{8}{3} - 6 + 4) - (\frac{1}{3} - \frac{3}{2} + 2) \right)

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= -\left( \frac{8}{3} - 2 - \frac{1}{3} + \frac{3}{2} - 2 \right) = -\left( \frac{7}{3} + \frac{3}{2} - 4 \right) = -\left( \frac{14 + 9 - 24}{6} \right) = -\left( \frac{-1}{6} \right) = \frac{1}{6}

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5. それぞれの定積分の結果を足し合わせます。

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\int_0^2 |x^2 - 3x + 2| dx = \frac{5}{6} + \frac{1}{6} = \frac{6}{6} = 1

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3. 最終的な答え

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