四面体OABCにおいて、$OA=OB=OC=6$、$AB=BC=CA=4$である。頂点Oから辺ABに垂線OHを下ろし、$\angle OHC=\theta$とおく。 (1) $\cos \theta$の値を求めよ。 (2) 四面体OABCの高さを求めよ。

1. 問題の内容

四面体OABCにおいて、$OA=OB=OC=6$、$AB=BC=CA=4$である。頂点Oから辺ABに垂線OHを下ろし、$\angle OHC=\theta$とおく。

(1) $\cos \theta$の値を求めよ。

(2) 四面体OABCの高さを求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

まず、$\triangle OAB$は$OA=OB=6$、$AB=4$の二等辺三角形である。HはABの中点であるから、$AH=HB=\frac{1}{2}AB=2$である。

$\triangle OHA$において、三平方の定理より、$OH^2 = OA^2 - AH^2 = 6^2 - 2^2 = 36 - 4 = 32$。

したがって、$OH = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}$。

次に、$\triangle ABC$は$AB=BC=CA=4$の正三角形である。よって、$CH = \frac{\sqrt{3}}{2} \times 4 = 2\sqrt{3}$。

$\triangle OHC$において、余弦定理より、$OC^2 = OH^2 + CH^2 - 2OH \cdot CH \cos \theta$。

$6^2 = (4\sqrt{2})^2 + (2\sqrt{3})^2 - 2 \cdot 4\sqrt{2} \cdot 2\sqrt{3} \cos \theta$

$36 = 32 + 12 - 16\sqrt{6} \cos \theta$

$36 = 44 - 16\sqrt{6} \cos \theta$

$16\sqrt{6} \cos \theta = 8$

$\cos \theta = \frac{8}{16\sqrt{6}} = \frac{1}{2\sqrt{6}} = \frac{\sqrt{6}}{12}$

(2)

四面体OABCの高さを求める。

$\triangle OHC$において、$OH=4\sqrt{2}, CH=2\sqrt{3}, \angle OHC = \theta, \cos \theta = \frac{\sqrt{6}}{12}$

$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$より、

$\sin^2 \theta = 1 - \cos^2 \theta = 1 - (\frac{\sqrt{6}}{12})^2 = 1 - \frac{6}{144} = 1 - \frac{1}{24} = \frac{23}{24}$

$\sin \theta = \sqrt{\frac{23}{24}} = \frac{\sqrt{23}}{2\sqrt{6}}$

四面体OABCの高さをHとすると、$H = OH \sin \theta = 4\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{23}}{2\sqrt{6}} = \frac{4\sqrt{2}\sqrt{23}}{2\sqrt{6}} = \frac{2\sqrt{46}}{\sqrt{6}} = \frac{2\sqrt{276}}{6} = \frac{\sqrt{276}}{3} = \frac{\sqrt{4 \times 69}}{3} = \frac{2\sqrt{69}}{3}$

3. 最終的な答え

(1) $\cos \theta = \frac{\sqrt{6}}{12}$

(2) $\frac{2\sqrt{69}}{3}$