三角形ABCにおいて、点Iは内心であり、$\angle BAC = 70^{\circ}$、$\angle IBA = 32^{\circ}$である。このとき、$\angle P$を求める。ここで点Pは辺BC上にあり、線分AIと辺BCの交点である。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、点Iは内心であり、$\angle BAC = 70^{\circ}$、$\angle IBA = 32^{\circ}$である。このとき、$\angle P$を求める。ここで点Pは辺BC上にあり、線分AIと辺BCの交点である。

2. 解き方の手順

内心は角の二等分線の交点であることから、以下のことが言える。

$\angle BAI = \frac{1}{2}\angle BAC$

$\angle CBI = \frac{1}{2}\angle ABC$

$\angle ACI = \frac{1}{2}\angle ACB$

与えられた条件から、$\angle BAI = \frac{1}{2} \times 70^{\circ} = 35^{\circ}$。

$\angle IBA = 32^{\circ}$であるので、$\angle ABC = 2 \times 32^{\circ} = 64^{\circ}$。

三角形の内角の和は$180^{\circ}$なので、$\angle ACB = 180^{\circ} - \angle BAC - \angle ABC = 180^{\circ} - 70^{\circ} - 64^{\circ} = 46^{\circ}$。

$\angle ACB = 46^{\circ}$なので、$\angle ACI = \frac{1}{2}\angle ACB = \frac{1}{2} \times 46^{\circ} = 23^{\circ}$。

$\angle AIC$は、三角形AICの内角の和から計算できる。

$\angle AIC = 180^{\circ} - \angle IAC - \angle ACI = 180^{\circ} - 35^{\circ} - 23^{\circ} = 122^{\circ}$。

$\angle P$ は $\angle AIC$ の外角なので、$\angle P = 180^{\circ} - \angle AIC = 180^{\circ} - 122^{\circ} = 58^{\circ}$。

三角形ABCの角の二等分線が交わる点がIなので, $\angle IBC = \angle IBA = 32^{\circ}$

$\angle ACB = 180^{\circ} - (\angle BAC + \angle ABC) = 180^{\circ} - (70^{\circ} + 2 \times 32^{\circ}) = 180^{\circ} - (70^{\circ} + 64^{\circ}) = 46^{\circ}$

$\angle ICP = \angle ACB / 2 = 46^{\circ} / 2 = 23^{\circ}$

$\angle BIC = 180^{\circ} - (\angle IBC + \angle ICP) = 180^{\circ} - (32^{\circ} + 23^{\circ}) = 180^{\circ} - 55^{\circ} = 125^{\circ}$

$\angle P = 180^{\circ} - \angle BIC = 180^{\circ} - 125^{\circ} = 55^{\circ}$

別解：

$\angle P$は$\angle ICA$の外角なので、

$\angle P = \angle IAC + \angle AIC = \frac{1}{2}\angle BAC + \frac{1}{2}\angle ABC = \frac{1}{2}(\angle BAC + \angle ABC)$

$\angle P = \angle IBA + \angle BAI = 32^{\circ} + 35^{\circ} = 67^{\circ}$

3. 最終的な答え

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