$n$ が整数のとき、$2n^3 + 3n^2 - 2n$ が 3 の倍数であることを証明する。

1. 問題の内容

$n$ が整数のとき、$2n^3 + 3n^2 - 2n$ が 3 の倍数であることを証明する。

2. 解き方の手順

与えられた式を因数分解する。

$2n^3 + 3n^2 - 2n = n(2n^2 + 3n - 2)$

さらに、$2n^2 + 3n - 2$ を因数分解する。

$2n^2 + 3n - 2 = (2n - 1)(n + 2)$

したがって、

$2n^3 + 3n^2 - 2n = n(2n - 1)(n + 2)$

$n(2n - 1)(n + 2) = (n+2)(2n^2 - n)$

$n(2n - 1)(n + 2)$ は連続する3つの整数の積の形に変形できることを示す。

$n$ の代わりに $n+1$ を代入して整理すると

$(n+1)(2(n+1) - 1)((n+1)+2) = (n+1)(2n+1)(n+3)$ となり、元の形とは異なる。

整数 $n$ を3で割った余りで場合分けする。

(i) $n = 3k$ のとき ($k$ は整数)

$n(2n - 1)(n + 2) = 3k(6k - 1)(3k + 2)$ は3の倍数。

(ii) $n = 3k + 1$ のとき ($k$ は整数)

$n(2n - 1)(n + 2) = (3k + 1)(2(3k + 1) - 1)(3k + 1 + 2) = (3k + 1)(6k + 1)(3k + 3) = 3(3k + 1)(6k + 1)(k + 1)$ は3の倍数。

(iii) $n = 3k + 2$ のとき ($k$ は整数)

$n(2n - 1)(n + 2) = (3k + 2)(2(3k + 2) - 1)(3k + 2 + 2) = (3k + 2)(6k + 3)(3k + 4) = 3(3k + 2)(2k + 1)(3k + 4)$ は3の倍数。

したがって、すべての場合において、$2n^3 + 3n^2 - 2n$ は3の倍数である。

3. 最終的な答え

$n$ が整数のとき、$2n^3 + 3n^2 - 2n$ は 3 の倍数である。