実数 $a$ が与えられたとき、関数 $f(x) = x^2 - |x-2| + \frac{a^2}{4}$ の最小値を $a$ を用いて表す。

1. 問題の内容

実数 $a$ が与えられたとき、関数 $f(x) = x^2 - |x-2| + \frac{a^2}{4}$ の最小値を $a$ を用いて表す。

2. 解き方の手順

絶対値記号を外すために場合分けを行う。

(1) $x \geq 2$ のとき:

$f(x) = x^2 - (x - 2) + \frac{a^2}{4} = x^2 - x + 2 + \frac{a^2}{4}$

平方完成すると、

$f(x) = (x - \frac{1}{2})^2 - \frac{1}{4} + 2 + \frac{a^2}{4} = (x - \frac{1}{2})^2 + \frac{7}{4} + \frac{a^2}{4}$

$x \geq 2$ の範囲では、$x = 2$ で最小となる。

$f(2) = 2^2 - (2 - 2) + \frac{a^2}{4} = 4 + \frac{a^2}{4}$

(2) $x < 2$ のとき:

$f(x) = x^2 - (-(x - 2)) + \frac{a^2}{4} = x^2 + x - 2 + \frac{a^2}{4}$

平方完成すると、

$f(x) = (x + \frac{1}{2})^2 - \frac{1}{4} - 2 + \frac{a^2}{4} = (x + \frac{1}{2})^2 - \frac{9}{4} + \frac{a^2}{4}$

$x < 2$ の範囲では、$x = -\frac{1}{2}$ で最小となる。

$f(-\frac{1}{2}) = (-\frac{1}{2})^2 + (-\frac{1}{2}) - 2 + \frac{a^2}{4} = \frac{1}{4} - \frac{1}{2} - 2 + \frac{a^2}{4} = -\frac{9}{4} + \frac{a^2}{4}$

$4 + \frac{a^2}{4}$ と $-\frac{9}{4} + \frac{a^2}{4}$ の大小を比較する。

$4 + \frac{a^2}{4} - (-\frac{9}{4} + \frac{a^2}{4}) = 4 + \frac{9}{4} = \frac{25}{4} > 0$

したがって、$f(x)$ の最小値は $-\frac{9}{4} + \frac{a^2}{4}$

3. 最終的な答え

$-\frac{9}{4} + \frac{a^2}{4}$

$\frac{a^2 - 9}{4}$