$a$ を実数の定数とするとき、方程式 $x^2 - 2ax + y^2 + 2ay + 3a^2 - 3a - 4 = 0$ が座標平面上の円を表すための $a$ の範囲を求める問題です。

1. 問題の内容

$a$ を実数の定数とするとき、方程式 $x^2 - 2ax + y^2 + 2ay + 3a^2 - 3a - 4 = 0$ が座標平面上の円を表すための $a$ の範囲を求める問題です。

2. 解き方の手順

与えられた方程式を円の方程式の標準形である $(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2$ の形に変形します。

まず、$x$ と $y$ それぞれについて平方完成を行います。

$x^2 - 2ax = (x - a)^2 - a^2$

$y^2 + 2ay = (y + a)^2 - a^2$

したがって、与えられた方程式は次のように変形できます。

$(x - a)^2 - a^2 + (y + a)^2 - a^2 + 3a^2 - 3a - 4 = 0$

$(x - a)^2 + (y + a)^2 = -a^2 + 3a + 4$

この方程式が円を表すためには、右辺が正である必要があります。すなわち、$-a^2 + 3a + 4 > 0$ である必要があります。

不等式 $-a^2 + 3a + 4 > 0$ を解きます。

両辺に $-1$ をかけて $a^2 - 3a - 4 < 0$

$(a - 4)(a + 1) < 0$

したがって、$-1 < a < 4$

3. 最終的な答え

$-1 < a < 4$